Expresiones algebraicas y grupos de permutación

Question

Supongamos que elijo un subgrupo $G$ de $S_n$ para algunos $n$ .

¿Es siempre posible encontrar una expresión algebraica en $n$ variables (en otras palabras, una función racional en esas $n$ variables) que se conserva exactamente para aquellas permutaciones en $G$ ? (Las permutaciones actúan sobre las variables de la expresión).

Si es así, me interesaría mucho la prueba.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea la suma sobre la órbita de $X_1X_2^2\cdots X_n^n$ bajo la acción de $G$ es decir $$f(X_1,\ldots,X_n) =\sum_{\pi\in G} X_{\pi1}^1X_{\pi2}^2\cdots X_{\pi n}^n.$$ Entonces $f$ es $G$ -por construcción y para cualquier $\pi \notin G$ observamos que el monomio $\pi(X_{1}^1X_{2}^2\cdots X_{n}^n)=X_{\pi1}^1X_{\pi2}^2\cdots X_{\pi n}^n$ no se encuentra en $f$ Así que $\pi f\ne f$ según sea necesario.

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Mi polinomio tiene grado $1+2+\ldots + n =\frac{n(n+1)}{2}$ y se puede mejorar fácilmente a $\frac{n(n-1)}2$ . ¿Se puede hacer algo mejor que $O(n^2)$ ?