Dado un ideal primario I en un anillo A, podemos considerar el subesquema V(I) de Spec(A). Es una nilpotentificación (?) del subesquema integral V(rad(I)) dado por el radical rad(I) de I. Mi pregunta es qué tipo de nilpotentizaciones se obtienen de esa manera. Es una pregunta vaga, pero lo pregunto porque soy completamente incapaz de entender el significado algebraico de "ideal primario" (aunque me lo aprendí de memoria)
Respuestas
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Cam McLeman
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Desde el punto de vista geométrico, los ideales primarios (y, sobre todo, la descomposición primaria) permiten visualizar, o al menos identificar, los componentes incrustados en la variedad/esquema. De hecho, desde el punto de vista geométrico, podría ser mejor aceptar temporalmente la definición de un ideal primario como ligeramente impar, hacer su camino hacia el teorema de descomposición primaria, y cosechar los beneficios de la intuición geométrica sólo después de ese punto.
Para robar un ejemplo que encontré en la red, he aquí una descomposición primaria de un ideal correspondiente a una intersección de tres variedades:
$$ I=\langle xy,x^3-x^2,x^2y-xy\rangle=\langle x\rangle\cap \langle x-1,y\rangle \cap \langle x^2,y\rangle $$
por lo que se ve que esta intersección está formada por el $y$ -eje, el punto $(0,0)$ ("incrustado" en el $y$ -), y el punto aislado $(1,0)$ -- algo que no se aprecia inmediatamente en el sistema de ecuaciones. Volviendo a los ideales primarios, brevemente: esta nilpotentización de la que hablas es precisamente la idea de dar un extra de confusión a este punto $(0,0)$ como un subesquema incrustado en el eje y. Así que en cierto sentido, es sólo una versión ligeramente más matizada de la idea de que, por ejemplo, $(x,y)^2$ debería corresponder geométricamente a un punto de multiplicidad 2, donde ahora se puede identificar un punto como un punto repetido aunque $(x,y)^2$ no aparece en la descomposición primaria de este ideal.
Zameer Manji
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Como sugiere Harry en su respuesta, probablemente sea más intuitivo trabajar con primos asociados primos, en lugar del lenguaje ligeramente más antiguo de las descomposiciones primarias.
Si $I$ es un ideal en $A$ un primo asociado de $A/I$ es un ideal primo de $A$ que es el aniquilador completo en $A$ de algún elemento de $A/I$ . Un hecho clave es que para cualquier elemento $x$ de $A/I$ el aniquilador de $x$ en $A$ está contenida en un primo asociado.
Los primos asociados son precisamente los primos que contribuyen a la descomposición primaria de $I$ . Geométricamente, $\wp$ es un primo asociado de $A/I$ si existe una sección de la gavilla estructural de Spec $A/I$ que se apoya en el conjunto cerrado irreducible $V(\wp)$ . Por ejemplo, en el ejemplo dado en la respuesta de Cam, la función $x^2 - x$ no es idénticamente cero en $X:=$ Espec ${\mathbb C}[x,y]/(x y, x^3-x^2, x^2 y - xy),$ pero es aniquilado por $(x,y)$ por lo que se apoya en el origen (si lo restringimos al complemento de $(0,0)$ en $X$ entonces se convierte en cero).
Los primos no mínimos de $I$ que desempeñan un papel en la descomposición primaria de $I$ (es decir, aparecen como primos asociados de $A/I$ ) son los puntos genéricos de los llamados componentes incrustados de Spec $A/I$ : son subconjuntos cerrados irreducibles de Spec $A/I$ que no son componentes irreducibles, pero que son el soporte de ciertas secciones de la gavilla estructural.
Un punto importante es que si $I$ es radical, por lo que $A/I$ se reduce, entonces no hay componentes incrustados: los únicos primos asociados son los primos mínimos (para la descomposición primaria de $I$ es entonces muy simple, como se señala en la pregunta: $I$ es sólo la intersección de sus primos mínimos).
Existe un buen criterio para que un anillo noetheriano sea reducido: Noetheriano $A$ es se reduce si y sólo si $A$ satisface $R_0$ y $S_1$ es decir, se reduce genéricamente, y no tiene primos asociados no mínimos. Geométricamente, y aplicado a $A/I$ en lugar de $A$ esto dice que si $A/I$ se reduce genéricamente, entonces los componentes incrustados son precisamente los subconjuntos cerrados irreducibles de Spec $A/I$ sobre la cual las secciones nilpotentes de la gavilla estructural están soportadas. Esto puede ayudar con tu imagen mental de "nilpotenciación".
