Demuestre que el determinante de cualquier producto exterior es 0

Question

Quiero demostrar que para dos vectores cualesquiera $a, b \in \mathbb{R}^n$ y dado $M = ab^T$ , $\det(M) = 0$ . Se me ha ocurrido la siguiente prueba, pero no estoy seguro de que sea suficiente; ¿podría alguien comprobarlo?

Dado $M = ab^T$ el sistema de ecuaciones $Mx = 0$ equivale a $ab^Tx = a(b \cdot x) = 0$ . Entonces existe un vector no nulo $x$ que es ortogonal a $b$ y así $a(b \cdot x) = a \times 0 = 0$ . La existencia de un $x$ tal que $Mx = 0$ implica que $M$ es singular, y por lo tanto $\det(M) = 0$ .

¿Esta prueba es correcta? Y lo que es más interesante, ¿hay una prueba mucho más sencilla que se me haya escapado?

Answer 1

No sé si es una prueba más sencilla -se basa en la propiedad de que las matrices de proyección tienen determinante cero- y se puede presentar de la siguiente manera:

$\text{det}(M)=\text{det}(M^T)$

Entonces

$\text{det}(M)\text{det}(M)=\text{det}(MM^T)=\text{det}(ab^Tba^T)=b^Tb(\text{det}(aa^T))$ ,

pero $P=aa^T$ se conoce como matriz de proyección (escalada si $\Vert a \Vert \neq 1$ Si $\Vert a \Vert = 1$ tenemos $P=P^2$ ) en $a$ línea así $\text{det}(aa^T)=0 $ ,

por lo que $\text{det}(M)=0$ .

Answer 2

Sí, su prueba es correcta. Una más elemental en mi opinión sería la observación de que las filas de la matriz $M$ son iguales hasta una constante. Obsérvese que la primera fila es $b$ escalado por $a_1$ (primera entrada de $a$ ), y la segunda fila es $b$ escalado por $a_2$ y así sucesivamente. Entonces se puede hacer una eliminación de filas para crear filas cero, lo que resulta en un determinante cero. Otra es la observación de que $0$ es un valor propio de $M$ . Ahora, puedes utilizar el resultado más pesado de que el determinante es un producto de valores propios.