El producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff

Question

Me confunde cómo puede ser cierto que el producto de un número infinito de espacios de Hausdorff $X_\alpha$ puede ser Hausdorff.

Si $\prod_{\alpha \in J} X_\alpha$ es un espacio producto con topología de producto, los elementos de la base consisten en productos $\prod_{\alpha \in J} U_{\alpha}$ donde $U_{\alpha}$ sería igual a $X_{\alpha}$ para todos los casos, excepto para un número finito de $\alpha$ 's. Si este es el caso y tenemos dos puntos distintos, $x$ y $y$ , en $\prod_{\alpha \in J} X_{\alpha}$ y un elemento base, $B_x$ que contiene $x$ entonces En la búsqueda de un elemento base, $B_y$ que contiene $y$ pero es disjunta de $B_x$ entonces para cada $\alpha$ tal que el conjunto abierto $U_\alpha$ de $B_x$ es igual a $X_\alpha$ el conjunto abierto $U_\alpha$ para $B_y$ tendría que estar vacío. Pero entonces no podría contener $y$ . (o cualquier otro punto de $\prod_{\alpha \in J} X_\alpha$ para el caso). ¿Cómo es posible entonces que $\prod_{\alpha \in J} X_\alpha$ es Hausdorff en la topología del producto?

¿Qué me falta?

Answer 1

Si $x$ y $y$ son distinto puntos de $\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$ entonces hay al menos una $\alpha_0\in J$ en la que difieren, lo que significa que $x_{\alpha_0}\ne y_{\alpha_0}$ . $X_{\alpha_0}$ es Hausdorff, por lo que hay conjuntos abiertos $U_{\alpha_0}$ y $V_{\alpha_0}$ en $X_{\alpha_0}$ tal que $x_{\alpha_0}\in U_{\alpha_0}$ , $y_{\alpha_0}\in V_{\alpha_0}$ y $U_{\alpha_0}\cap V_{\alpha_0}=\varnothing$ . Ahora dejemos que $U_\alpha=V_\alpha=X_\alpha$ para cada $\alpha\in J\setminus\{\alpha_0\}$ , dejemos que $U=\prod_{\alpha\in J}U_\alpha$ y que $V=\prod_{\alpha\in J}V_\alpha$ Entonces $U$ y $V$ son conjuntos abiertos básicos en $\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$ , $x\in U$ , $y\in V$ y $U\cap V=\varnothing$ . La única afirmación que podría no ser inmediatamente evidente es que $U\cap V=\varnothing$ para ver esto, tenga en cuenta que si $z\in U\cap V$ entonces $z_{\alpha_0}\in U_{\alpha_0}\cap V_{\alpha_0}=\varnothing$ , por lo que no hay tal $z$ puede existir.

Así, $\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$ es Hausdorff.