Deje $X$ ser un perfecto polaco espacio y deje $H[X]$ ser el conjunto de todos los que no vacía de subconjuntos compactos de $X$. Para $A,B \in H[X]$ definir el llamado Hausdorff-a Distancia $$ d_H(a,B) = \max \{ \sup_{x \in X} \inf_{y\en Y} d(x,y), \sup_{y\en Y} \inf_{x \in X} d(x,y) \} $$ que es una métrica en $H[X]$, la prueba de que $H[X]$ es perfecto.
Tengo que demostrar que cada una de las bolas $B_{r}(A) = \{ B \in H[X] : d_H(A,B) < r \}$ contiene un punto de $B \ne A$. Para esto en primer lugar quería mostrar que el conjunto (el conjunto de puntos que tienen una distancia$<r$$Y$) $$ Y_r = \bigcup_{y \en Y} \{ x \in X : d(x,y) < r \} $$ contiene un punto de no $Y$. Pero soy incapaz de hacer. Tengo que $Y$ es compacto, y porque estoy en un espacio métrico, así que esto es equivalente con $Y$ está cerrado y totalmente acotado. Supongo que sería suficiente para demostrar que el límite de $Y$ no está vacía. Lo he intentado, mediante totalmente acotado, para la construcción de una secuencia que se acerca a un punto en el límite, y, a continuación, utilizando la cercanía a deducir que se encuentra en $Y$, pero ahora tengo idea de cómo encontrar una secuencia? Cualquier sugerencias? Por cierto mi otro post Si un conjunto puede ser representado como "arbitraria bien" finito de la unión de abrir bolas, entonces no es cerrado, es en relación con esta pregunta, pero después de las respuestas no tengo ideas para continuar.
