¿Por qué el interés en los espacios locales euclidianos?

Question

Muchas matemáticas, que yo sepa, están interesadas en el estudio de los espacios euclidianos y localmente euclidianos (colectores).

1. ¿Cuál es la característica especial de los espacios euclidianos que los hace interesantes?
2. ¿Existe un campo que estudie los espacios que no son ni global ni localmente espacios euclidianos?
3. Si existe un campo de este tipo, ¿hay algún uso práctico para él (como en los modelos físicamente existentes)?

Answer 1

Creo que el interés es histórico. Dado que las matemáticas y la física crecieron juntas, la continuidad física† podría considerarse fácilmente de interés y relevancia matemática.

† ¡Recuerde lo sorprendidos que se quedaron los físicos cuando se descubrieron los "saltos" discontinuos! (La revolución cuántica.) iirc esto fue probado por primera vez con experimentos de radiación de cuerpo negro.

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No puedo encontrar el libro que estoy tratando de citar en este momento (y voy a tratar de editar esto más tarde si me acuerdo), pero el capítulo 1 o 0:

Históricamente, siempre se ha considerado que las variedades eran un subconjunto de ℝⁿ. No fue hasta principios del siglo XX [digamos que gracias a Noether o Klein] cuando se decidió que podíamos prescindir por completo de los gráficos de coordenadas, y se introdujo la noción de variedad abstracta (que es la que conocemos ahora).

Esto también se puede encontrar en Spivak DG1, donde se refiere, por ejemplo, a impulsar un haz tangente como la forma "moderna y limpia" de hacer las cosas --- que es menos intuitiva, pero también en cierto sentido preferible, a la antigua forma de ver las cosas "subconjunto de ℝⁿ".

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Preguntaste si la gente estudia los espacios no lisos. No soy lo suficientemente experto en ninguno de estos temas como para darte una respuesta, pero busca en Google:

• objetos profesionales
• p-adics
• paracompacidad
• no Hausdorff

Normalmente, lo no-Hausdorff se consideraría patológico, por lo que creo que haría falta un resultado hermoso u otro tipo de visión convincente para que la gente se interesara específicamente por algún objeto no-Hausdorff. Pero la patología de un hombre es "muy interesante" para otro: Dedekind, Cantor, Sierpiński y Gödel son sólo algunos de los que se lo pasaron en grande y se ganaron aplausos estudiando espacios que yo considero patológicos. Los obituarios de la AMS pueden ser una fuente decente de información sobre cómo los matemáticos llegan a encontrar interesantes diversos espacios / objetos. (Tengo uno en mente específicamente sobre espacios polacos, pero de quién era el obituario se me olvida en este momento).

Con "patológico" me refiero a que creo que muchos matemáticos pensarían o bien "¿Por qué? Eso nunca pasa" o bien "¿Sucede algo interesante si empiezas por ahí?".

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Por último, los denominados " aritmética manifolds" puede ser un ejemplo en la intersección de mathematics that is taken seriously ∩ not locally Euclidean . Las conjeturas de Weil; algunas ideas de Peter Sarnak Teoría de Tao-Green (progresiones aritméticas) - requiere teorías cohomológicas alternativas como étale o cristalino - y dentro de la construcción de los que podría haber un supuesto de no suavidad (por ejemplo, los números primos no se distribuyen suavemente). Utilizando menos tecnología, podrías buscar en Google sobre funciones L (lmfdb.org), pesos o curvas elípticas (creo que Silverman tiene una introducción al estilo de NSA-crypto asumiendo menos vocabulario). Si buscas "Verdier duality" verás de nuevo gente intentando conseguir algo parecido a la dualidad de Poincaré, pero para no-manifolds.

Espero que esto responda a su pregunta. (Y asumiendo que otros que la compartan encontrarán esta página, en caso de que ya no estés consultando el sitio).