Muchas matemáticas, que yo sepa, están interesadas en el estudio de los espacios euclidianos y localmente euclidianos (colectores).
Uno de los principales motivos de interés es que los colectores son homogéneo . Así pues, desde un punto de vista geométrico, estudiamos los colectores por la misma razón que estudiamos los grupos.
Dicho de un modo menos abstracto, existe el "problema clásico" de si la Tierra es plana o no. El "problema de la Tierra plana" se refiere a la posibilidad de que a pequeña escala algo pueda parecer lineal, pero macroscópicamente no tenga por qué serlo. Las variedades son la manifestación abstracta del problema de la Tierra plana.
Se estudian grandes familias de objetos que se modelan localmente en espacios que no son euclidianos. Hay variedades de dimensiones infinitas, variedades fractales, orbifolios (modelados localmente en un espacio euclidiano mediante una acción de grupo finita), etc. Los haces de fibras son mapas que son localmente mapas de proyección. Esta idea resurge en matemáticas de muchas formas diferentes y de muchas maneras distintas.
Si $M$ es una variedad conexa, dados dos puntos cualesquiera $p,q \in M$ existe un homeo/difeomorfismo $f : M \to M$ tal que $f(p)=q$ . Así que estoy usando homogénea en el sentido de que $Homeo(M)$ o $Diffeo(M)$ actúa transitivamente sobre $M$ dependiendo de si estás en la categoría topológica o lisa de los colectores. También es cierto en la categoría PL.
Esto no responde a la pregunta de "por qué". ¿Por qué estudiar objetos homogéneos en lugar de otra cosa?
En mi opinión (porque realmente es una opinión), la principal razón para interesarse por los espacios euclidianos es que vienen equipados con un montón de estructuras especialmente bonitas. En concreto, son espacios de Hilbert de dimensión finita. Esto significa que lo son:
Y realmente, hay mucha intuición geométrica que acompaña a estas ideas, por no hablar de todo un aparato de cálculo. Después de todo, hay muchos espacios topológicos en los que las nociones anteriores no están definidas o no son ciertas.
La razón (al menos para mí) para estudiar espacios localmente euclidianos es que queremos estudiar espacios que sean más generales que los euclidianos, pero que conserven muchas de sus buenas características. En concreto, queremos un lugar en el que el cálculo tenga sentido.
Entre las áreas de las matemáticas que estudian espacios más abstractos se encuentran la topología y la geometría algebraica. Es cierto que aún no estoy muy versado en ninguna de ellas, pero estoy seguro de que se han encontrado usos prácticos (y modelos físicos) en ambas.
Otra razón para estudiar los colectores es que los conjuntos de niveles genéricos de funciones suaves son colectores según el teorema de Sard. Así que si te interesan las funciones suaves, tienes que interesarte al menos un poco por los colectores.
Me interesa la topología diferencial, así que eso baza mi respuesta. $\mathbb{R}$ y los espacios euclidianos en general, son interesantes porque se puede hacer cálculo en ellos. Los manifolds son interesantes porque, no sólo como dice OrbiculaR, puedes hacer análisis estándar en un gráfico, sino que puedes extender con sentido los conceptos del análisis a todo el manifold.
También se puede hacer análisis en las p-ádicas, así que cabe preguntarse por qué no se estudian las variedades p-ádicas. (En realidad, no lo sé).
En topología se estudian intensamente algunos espacios naturales pero bastante abstractos y no "localmente euclidianos". Algunos ejemplos son los espacios de caminos (espacio de caminos en un espacio topológico o colector dado) y algunos espacios naturales de caminos. $H$ -en la categoría de homotopía.
De todos modos, hay un montón de nuevos tipos de "geometría" en el campo de la geometría algebraica, que no es en absoluto euclidiana.
Pero tu argumento es bueno, que el espacio euclidiano es especialmente útil en física. Con esto en mente, algunas personas están haciendo física adelic en estos días.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
7 votos
Bueno, el universo es (aproximadamente) localmente euclidiano... Creo que es una razón suficiente, ¿no?
1 votos
@Qiaochu: Iba a poner eso como parte de la pregunta pero lo dejé para más adelante (probablemente merezca una aparte): ¿Es el universo localmente euclidiano, o simplemente nos inclinamos a modelarlo así?
0 votos
Localmente los espacios euclidianos son interesantes independientemente de la respuesta a esa pregunta (porque la verdadera pregunta es si el modelo funciona, y la respuesta, creo que tienes que estar de acuerdo, es un rotundo sí).
1 votos
@Qiaochu: Por supuesto que estoy de acuerdo. La razón por la que excluí esa parte es que parecía pertenecer a la física o a la metafísica. Dicho esto, decir que el universo es (aproximadamente) localmente euclidiana deja de ser una razón válida para nuestro interés.
1 votos
Tenemos pruebas bastante convincentes (en particular, el éxito de la dinámica newtoniana) para creer que el universo es localmente euclidiano hasta una aproximación muy cercana al menos; si hubiera alguna curvatura intrínseca sustancial entonces la habríamos detectado.