El endomorfismo de campo

Question

Podemos encontrar un campo de $K$ y un endomorfismo $f$$K$, de tal manera que $f$ no es trivial y $f$ no es surjective? En otras palabras, podemos encontrar un endomorfismo de $K$, que no es una automorphism?

Answer 1

Considerar la Frobenius endomorfismo de los campos de la característica $p$ dada por

$$ x \to x^{p}$$

Esto no es siempre una automorphism. Por ejemplo, la imagen de la función racional campo $\mathbb{F}_{p}(t)$ bajo la Frobenius endomorfismo no contiene $t$.

Answer 2

Sí, mucho; por ejemplo, la endomorphisms $F(x) \to F(x)$ fijación $F$ son precisamente dado por la ampliación de $x \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ donde $p, q$ son dos distinto de cero polinomios de total grado, al menos,$1$. Suponiendo WLOG que $\gcd(p, q) = 1$, este mapa es un automorphism si y sólo si $p = ax + b, q = cx + d$ donde $ad - bc \neq 0$ (ejercicio).

Por otro lado, si $K$ es una extensión finita de su primer subcampo, entonces cualquier endomorfismo de $K$ es un automorphism (ejercicio). Estos son, precisamente, el número de campos y los campos finitos.