Demostrar Ultraparallel Teorema de la mitad-modelo de avión

Question

Dado que el $l_1$ $l_2$ son hiperbólicos líneas y son ultraparallel, demostrar que existe una línea perpendicular a $l_1$$l_2$.

Mi progreso: En la mitad-modelo de avión, puedo demostrar que la situación al $l_1$ es un Euclidiana línea vertical y $l_2$ es un Euclidiana semi-círculo. Sin embargo, no puedo probar la declaración de al $l_1$ $l_2$ son tanto Euclidiana círculos. Dejé la radio de los dos círculos que contienen $l_1$$l_2$$r_1$$r_2$. Dejo que el radio del círculo que contiene la línea perpendicular ser $r$. Dejo que el centro de los círculos que contienen $l_1$, $l_2$ y la línea perpendicular a ser $c_1$, $c_2$ y $c$. Entonces tengo la ecuación: $$ (c-c_1)^2 = r_1^2+r^2$$ $$ (c-c_2)^2 = r_2^2+r^2$$ Quiero mostrar que la $r>0$ pero no pude.

Answer 1

Los dos círculos $l_1$ $l_2$ tienen una única línea, llamada el eje radical, con la propiedad de que un círculo es ortogonal tanto a $l_1$ $l_2$ si y sólo si el centro está en el eje radical. El eje radical es perpendicular para el segmento que conecta los centros de los dos círculos $l_1$$l_2,$, que en nuestro caso es la línea real $\mathbb{R} = \partial \mathbb{H}^2$ (el límite en el infinito del plano hiperbólico). Ahora, dibuje el eje radical de $l_1$ $l_2$ y de encontrar el punto de intersección $O$ con el eje real $\mathbb{R} = \partial \mathbb{H}^2$. Dibujar una línea de $t$ pasando a través de $O$ y tangente al círculo en $l_1$ (o puede optar $l_2$ si usted lo prefiere, no importa). Deje $T$ ser el punto de tangencia de la línea de $t$$l_1$. Ahora el círculo centrado en $O$ y radio de $|OT|$ (Euclidiana :) ) es ortogonal tanto a $l_1$ $l_2$ y su centro $O$ es sobre el eje real. Por lo tanto, esta es la única geodésica ortogonal tanto a $l_1$$l_2$.