Valor esperado de $a^x$

Question

Suponga que una variable aleatoria $X$. Asumir, si esto simplifica el problema, que $X$ puede tomar sólo no negativos a valores enteros. ¿Existe alguna relación entre el $E(X)$ $E(a^X)$ donde $a$ es un valor arbitrario en el intervalo de $[0,1]$ y $a^X$ me refiero a la variable aleatoria que toma el valor de $a^x$ con la misma probabilidad de $p$ tal que $X$ toma de probabilidad $x$?

Gracias!

Answer 1

$$E(X) = \lim_{a \to 1} \dfrac{d}{da} E(a^X)$$

Answer 2

El momento de generación de función de una variable aleatoria es el (poder formal de la serie):

$$M_X(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{E(X^n)}{n!}t^n$$

Si $E(a^X)$ existe, entonces su valor puede ser calculada mediante la evaluación de las $M_X(\log a)$.

Como se puede ver, esto depende de la $E(X^n)$ para todos los $n$. $E(X^n)$ se llama la $n$th momento de $X$.

Answer 3

No es una simple relación entre el $E[f(X)]$ $E[X]$ para cualquier función convexa $f$, es decir,$f(E[X]) \leq E[f(X)]$. Esto es válido para cualquier variable aleatoria X y sostiene con desigualdad estricta, si X es no degenerada. Por lo tanto, desde el $a^x$ es convexa, tenemos que $a^{E[X]} \leq E[a^X]$ o $E[X] \leq log_a(E[a^X])$.