Dejemos que $X$ ser un $C^\infty$ colector, compacto orientado y conexo de dimensión $n$ . ¿Cómo se demuestra que el mapa de integración $$\int_X: \omega \mapsto \int_X \omega $$ de $H^n_{DR}(X)$ a $\mathbb{R}$ es un isomorfismo? (Sin utilizar la dualidad de Poincare).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
stevemac
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Estos son los pasos para hacerlo:
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Demuestre que la fórmula que ha dado está bien definida (es decir, demuestre que no depende de la clase de $w$ ). Esto no es más que el Teorema de Stokes, suponiendo que tu colector no tiene límites. La linealidad es evidente.
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Para la subjetividad, ya que $M$ está orientado existe un $n$ -forma $\omega_0$ tal que $\int_M \omega_0 = c > 0$ . Ahora sólo hay que multiplicar $\omega_0$ por la constante correspondiente.
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Ahora, observe que ambos espacios tienen la misma dimensión, por lo que la integración debe ser un isomorfismo.
