Convergencia de series de potencias alrededor de otro punto

Question

Supongamos que $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ es una serie de potencias que converge en $B_R(0)$ para algún $R>0$. Sea $w \in B_R(0)$ y $r=|w|

Intenté expandir $f(z+w)$ para determinar los coeficientes $b_n$ pero estoy teniendo muchos problemas.

Answer 1

Contrariamente a lo que dice el comentario de hardmath, tu forma de expandir $f(z+w)$ funcionará.

Supongamos que $|z| < R-r$. En particular $|z+w| < R$, así que la serie para $f(z+w)$ converge: \begin{align*} f(z+w) &= \sum_{n=0}^\infty a_n (z+w)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n a_n \binom{n}{i} z^i w^{n-i} \end{align*} Con la justificación adecuada$^{1}$, como la serie converge absolutamente, podemos cambiar el orden de la suma: \begin{align*} &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{n=i}^\infty a_n \binom{n}{i} w^{n-i} z^i \end{align*> Entonces, sea $b_i = \sum_{n=i}^\infty a_n \binom{n}{i} w^{n-i}$, y obtenemos lo que queríamos: $$ f(z+w) = \sum_{i=0}^\infty b_i z^i. $$

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$^{1}$Específicamente, para justificar esto, basta (ver este apunte) con demostrar que $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n |a_n| \binom{n}{i} |z|^i |w|^{n-i} < \infty.$$

Pero la expresión es igual a $$\sum_{n=0}^\infty |a_n| \left(|z| + |w|\right)^n,$$

y como $\big||z| + |w|\big| = |z| + |w| < (R-r) + r = R$, la serie original converge absolutamente para $|z| + |w|$, que es lo que se menciona arriba.

Answer 2

Si tenemos una función que ha sido expandida en una serie de potencias alrededor del punto $x = x_{0}$

\begin{equation} f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} \end{equation}

y si el radio de convergencia de esta serie es distinto de cero, entonces podemos generar una expansión en serie de potencias alrededor de un nuevo punto $x = x_{1}$ si este punto está en el radio de convergencia de la serie de potencias original. La nueva serie es [1]

\begin{equation} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} b_{k} (x - x_{1})^{k} \end{equation}

\begin{equation} b_{k} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix} n+k \\ k \end{pmatrix} a_{n+k} (x_{1} - x_{0})^{n} \end{equation}

[1] Teoría y Aplicación de Series Infinitas por Konrad Knopp.