Áspero límites en el valor

Question

En un libro que el autor define el valor siguiente: $$ F(m) = \sup\limits_{v\geq 1}\frac{v^m}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$ para $m\in [3,4]$. Además se pone un límite superior para este valor: $$ F(m)\leq 1+\frac m2+\frac m2(m+1)^{m+1}e^{m}, $$ así por ejemplo, para $m = 3$ a ha $F(M)\leq 21.67$. Esta obligada parece ser demasiado áspero: no sé el valor actual de $F(3)$, pero en el contrato de arrendamiento de Mathematica proporciona la respuesta $\approx3.58$.

Está claro que no puedo depender de esta aproximación, y me gustaría encontrar más agradable de los límites para la $F(m)$ especialmente para $m\in [3,4]$.

Si uno de definir $$ f(v,m) = \frac{v^m}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$ entonces $$ f'(v,m) = 1+\frac{v^{m-1}(m-v)}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$ donde el deirvative es tomado w.r.t. $v$. Ya que estamos interesados sólo en el caso de $v\geq 1$ $v\in[1,m]$ clara $f'\geq 1>0$. Así que hay dos preguntas:

1. si no $v^*$ tal que $f'(v^*,m) = 0$?

2. si es única?

Estas cuestiones están estrechamente relacionadas con el comportamiento de $$ \frac{v^{m-1}(m-v)}{e^v}\int\limits_1^v\frac{e^u}{u^m}\mathrm du $$ lo que no entiendo bien. E. g. cálculo de $f''$ no ayuda mucho a mí (de nuevo, la derivada es w.r.t $v$).

Editado: gracias a Willie Wong, he corregido el obligado para $F(3)\leq 21.67$. Esta obligado todavía es aproximada ya que la necesito para operar a partir de entonces con valores como la $\exp(F(m))$, donde la diferencia entre los números de $3.58$ $21.67$ es significativo.

Answer 1

Algunos pensamientos al azar.

• Escribir la ecuación de $f'$ $$ f'(v,m) = 1 + \left(\frac{m}{v} - 1\right) f(v,m) $$ lo que implica que $f' = 0 \iff f = \frac{1}{1 - m/v}$. Observar que $f$, por definición, es no negativo, y $f(1,m) = 0$. Esto implica que si $f' \neq 0$ cualquier lugar, $f$ debe ser estrictamente creciente. Pero $(1-m/v)^{-1}$ es estrictamente decreciente en a $v > m$, por lo que si $f'\neq 0$ cualquier lugar, debemos tener la $f \leq \inf_{v > m} (1-m/v)^{-1} = 1$.
• Supongamos $f'(v^*,m) = 0$. Entonces $$ f''(v^*,m) = \left(\frac{m}{v^*} - 1 \right) f'(v^*,m) - \frac{m}{(v^*)^2} f(v^*,m) < 0 $$ por lo tanto cualquier punto crítico de $f$ debe ser de un máximo. Esto implica que el máximo, cuando alcanzó a $v^* < \infty$, es único. (Y, en particular, responde a su segunda pregunta.)

Ahora, para $v > m$, $f'(v,m) < 1$. Así que debemos tener $$ f(v^*,m) - f(m,m) \leq (v^*-m) = m\left( f(v^*,m)-1\right)^{-1}$$ que puede dar una estimación aproximada de $f(v^*,m)$ usando la fórmula cuadrática $$ f(v^*,m) \leq 1 + f(m,m) $$

Lo que queda es para obtener una buena estimación de $f(m,m)$. Observe que para $u < m$, $e^u/u^m$ es decreciente y convexa. Sólo mediante la estimación de la integral a través de un trapecio, usted tiene que

$$ f(m,m) \leq \frac{m^m}{e^m} \frac{(m-1)}{2} \left( e + \frac{e^m}{m^m}\right) = \frac{m-1}{2} \left( 1 + m^m e^{1-m}\right) $$

lo que da que, para $m = 3$

$$ f(v^*,3) \leq 1 + \frac{2}{2} (1 + 3^3 e^{-2}) < 5.66 $$

y para $m = 4$

$$ f(v^*,4) \leq 1 + \frac{3}{2} (1 + 4^4 e^{-3}) < 21.7 $$

que son bastante razonables estimados, creo.