Estoy aprendiendo cálculo de Malliavin y Skorohod integrales y con este tipo de matemáticas me encuentro siguiendo la lógica, pero que carecen de sólidos intuición acerca de lo que está pasando.
En concreto, el Skorohod integral que se generaliza el Ito integral, posiblemente, anticipando integrands (se reduce a un Ito integral cuando el integrando es no anticipar)
Así, por ejemplo, tomar la Skorohod integral, del movimiento Browniano $B(t)$, $B(0)=0$ $$ \int_0^T B(T)\delta B(t) = B^2(T)-T$$ (véase, por ejemplo, http://www.nhh.no/Files/Filer/institutter/for/dp/1996/wp0396.pdf)
Cabe destacar que la $$ \int_0^T B(T)\delta B(t) \neq B(T)\int_0^T\delta B(t)=B(T)\int_0^T dB(t)=B^2(T)$$
y estoy tratando de entender exactamente por qué este es el caso. Agradezco que no se puede ver como una suma de Riemann que es lo que le da la intuición de que el de arriba está tratando de protegerse. Así que la única otra especie de intuición que tengo es que es así, porque el integrando e integrador están correlacionadas en la misma forma que el integrando e integrador están correlacionadas en la integral de Stratonovich que significa que no es una Martingala. I. e. de forma análoga a $$E[f(B)\circ dB]\neq E[f(B)]E[dB]=E[f(B)]\cdot 0=0\quad\left(=E[f(B)dB]\right)$$
Sin embargo, en caso de que no entiendo por qué la diferencia entre los ingenuos y corregir interpretaciones anteriores es$T$, de modo que la diferencia crece de forma independiente de la correlación.
En otras palabras, sería de esperar que (dado $T_2>T_1$) $$\lim_{(T_2-T_1)\to\infty}\int_0^{T_1}B(T_2)\delta B(t)=B(T_2)\int_0^{T_1}\delta B(t)=B(T_2)\int_0^{T_1}dB(t).$$
O que yo esperaría que la diferencia de $$\int_0^T B(T)\delta B(t) - B(T)\int_0^T\delta B(t)=\int_0^T\xi(t-T)dt$$
donde$\xi(t-T)\to 0$$T\to\infty$.
Pero todo esto está en completa contradicción con la definición de la Skorohod integral anterior. Puede alguien explicar esto de una forma relativamente sencilla e intuitiva con las ideas?
Una cuestión secundaria se plantea es cómo simular numéricamente dicha integral (es decir, dado un pre calculada proceso de Wiener)
EDITAR:
Así resulta usted puede (creo) escribir Skorohod integrales en términos de una Mecha de cálculo integrada en la Mecha de productos (https://en.wikipedia.org/wiki/Wick_product). Y por lo tanto crear un Mecha-Riemann suma a saber. (recordando que $B(0)=0$) $$\int_0^TB(T)\delta B(t)=\int_0^TB(T)\diamond d B(t)=\sum_{i=0}^{n-1}B_n\diamond (B_{i+1}-B_i)\\=\sum_{i=0}^{n-1}\left[B_n\cdot(B_{i+1}-B_i)-\underbrace{\langle B_n\rangle}_{=0}(B_{i+1}-B_i)- B_n\underbrace{\langle(B_{i+1}-B_i)\rangle}_{=0}-2\underbrace{\langle B_n\rangle\langle(B_{i+1}-B_i)\rangle}_{=0}-\langle B_n(B_{i+1}-B_i)\rangle\right]\\=\sum_{i=0}^{n-1}\left[B_n\cdot(B_{i+1}-B_i)-\langle B_n(B_{i+1}-B_i)\rangle\right]\\=B_n^2-\sum_{i=0}^{n-1}\langle B_n(B_{i+1}-B_i)\rangle$$
que es intuitivamente mucho más cerca de donde quiero estar. Este es el ingenuo 'Ito' integral, además de lo que se parece mucho a una función de correlación (o más bien la covarianza). Así que estoy más o menos en la pista para mi 'skorohod = ingenuo + correlación de corrección de tren de pensamiento.
Ahora estoy en la situación extraña donde puedo recuperar el resultado de esta manera, pero no pueden conectar los puntos entendimiento sabio.
Por lo que La última parte es $$\sum_{i=0}^{n-1}\langle B_n(B_{i+1}-B_i)\rangle=\sum_{i=0}^{n-1}\langle B_nB_{i+1}\rangle-\langle B_nB_i\rangle=\underbrace{\langle B_n^2\rangle}_{=T_n=T} - \langle B_n \underbrace{B_0}_{=0}\rangle$$
significado encontramos $$\int_0^TB(T)\diamond d B(t)=B^2(T)-T$$ as expected, but I'm still struggling with the fact that the correlation based correction term doesn't converge to some constant as $T\to\infty$, but just keeps growing. Generalising such that $B(0)\neq 0$ looking at the second to last line it appears that the correction in fact converges $$ $T$. Creo que esta es la intuición poco me falta. Los pensamientos?
