Evaluar el producto $\prod\limits_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)$

Question

Recientemente, me encontré con un producto que parece interesante.

¿Alguien sabe cómo llegar al formulario cerrado?

$$\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=-\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{2^{n-1}}$$

He intentado utilizar la identidad $\cos(x)=\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$ para hacerla "telescópica" de alguna manera, pero sin éxito. Pero, de nuevo, es muy posible que haya pasado por alto algo.

Esto da la solución correcta si $n$ es impar, pero por supuesto se evalúa a $0$ si $n$ está en paz.

Así que intenté tenerlo en cuenta, pero debo haberlo enfocado mal.

¿Cómo se puede demostrar esto? Gracias a todos.

Answer 1

Las raíces del polinomio $X^{2n}-1$ son $\omega_j:=\exp\left(\mathrm i\frac{2j\pi}{2n}\right)$ , $0\leq j\leq 2n-1$ . Podemos escribir \begin{align} X^{2n}-1&=(X^2-1)\prod_{j=1}^{n-1}\left(X-\exp\left(\mathrm i\frac{2j\pi}{2n}\right)\right)\left(X-\exp\left(-\mathrm i\frac{2j\pi}{2n}\right)\right)\\ &=(X^2-1)\prod_{j=1}^{n-1}\left(X^2-2\cos\left(\frac{j\pi}n\right)X+1\right). \end{align} Evaluando esto en $X=i$ obtenemos $$(-1)^n-1=(-2)(-2\mathrm i)^{n-1}\prod_{j=1}^{n-1}\cos\left(\frac{j\pi}n\right),$$ por lo que \begin{align} \prod_{j=1}^n\cos\left(\frac{j\pi}n\right)&=-\prod_{j=1}^{n-1}\cos\left(\frac{j\pi}n\right)\\ &=\frac{(-1)^n-1}{2(-2\mathrm i)^{n-1}}\\ &=\frac{(-1)^n-1}2\cdot \frac{\mathrm i^{n-1}}{2^{n-1}}. \end{align} El RHS es $0$ si $n$ es par, y $-\dfrac{(-1)^m}{2^{2m}}=-\dfrac{\sin(n\pi/2)}{2^{n-1}}$ si $n$ es impar con $n=2m+1$ .

Answer 2

Si $n$ es par, entonces el término con $k=n/2$ hace que el producto de la izquierda $0$ y $\sin\left(\frac{n}{2}\pi\right)=0$ . Por lo tanto, supongamos que $n$ es impar. $$ \begin{align} \prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) &=-\prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\tag{1}\\ &=-\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)}{2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)}\tag{2}\\ &=\frac{-1}{2^{n-1}}\frac{\prod\limits_{k=\frac{n+1}{2}}^{n-1}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)}{\prod\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}\sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)}\tag{3}\\ &=\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^{n-1}}\frac{\prod\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}\sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)}{\prod\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}\sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)}\tag{4}\\ &=-\frac{\sin\left(n\frac\pi2\right)}{2^{n-1}}\tag{5} \end{align} $$ $(1)$ : $\cos(\pi)=-1$

$(2)$ : $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

$(3)$ : cancelar $\sin\left(\frac{j\pi}{n}\right)$ en el numerador y el denominador para las $j$ de $2$ a $n-1$

$(4)$ en el numerador, cambiar la variable $k\mapsto k+\frac{n-1}{2}$ y utilizar $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$

$(5)$ : para impar $n$ , $\sin\left(n\frac\pi2\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$

Answer 3

La idea de utilizar $\cos x=\frac{1}{2}\frac{\sin 2x}{\sin x}$ es una buena, y funciona rápidamente. No debemos utilizarlo cuando $x=\frac{n\pi}{n}$ por la $\frac{0}{0}$ cuestión. Además, como usted observa, el producto es $0$ si $n$ está en paz, así que no hay que molestarse. Así que dejemos que $n$ ser impar.

Mira el producto de $k=1$ a $k=n-1$ . Como $k$ se extiende sobre estos valores, los números $2k$ rango, modulo $n$ sobre todos los números de $1$ a $n-1$ . Así que el $\cos(2k\pi/n)$ (aparte del signo) se extienden en algún orden sobre el $\cos(\pi j/n)$ . Por lo tanto, aparte del signo, hay cancelación y el producto tiene valor absoluto $\frac{1}{2^{n-1}}$ .

No hay ningún problema de señalización. Si $n\equiv 1\pmod {4}$ el producto de $1$ a $n-1$ tiene un número par de términos negativos. El término $\cos(\pi n/n)$ entonces nos da un extra $-1$ y el producto es negativo. Por la misma razón, si $n\equiv 3\pmod{4}$ entonces el producto es positivo. El $-\sin(n\pi/2)$ capta estos hechos de signo, y también produce la respuesta correcta de $0$ cuando $n$ está en paz.

Answer 4

El polinomio mónico de Chebyshev de segundo tipo,

$$\hat{U}_n(x)=\frac{\sin((n+1)\arccos\,x)}{2^n \sqrt{1-x^2}}$$

se puede ver fácilmente que tiene las raíces $x_k=\cos\dfrac{\pi k}{n+1}$ para $k=1,\dots,n$ . Por Vieta, el término constante de $\hat{U}_n(x)$ es igual a

$$\hat{U}_n(0)=\prod_{k=1}^n \cos\dfrac{\pi k}{n+1}$$

y por lo tanto

$$\prod_{k=1}^n \cos\dfrac{\pi k}{n}=-\hat{U}_{n-1}(0)=-\frac{\sin\frac{n\pi}{2}}{2^{n-1}}$$