Una matriz de $M$ que conmuta con cualquier matriz es de la forma $M=\alpha I$

Question

Siento que esta es probablemente una prueba simple, pero no acabo de venir para arriba con una manera elegante ni pude encontrar aquí.

Demostrar que si una matriz $M$ conmuta con cualquier matriz, a continuación, $M$ es de la forma $M=\alpha I$.

Probando el contrapositivo parece que es la manera natural para ir a donde podemos lógicamente transformar $\lnot \forall A(MA = AM)$ a $\exists A (MA \neq AM)$ pero suponiendo que $M \neq \alpha I$ inmediatamente se vuelve desordenado. Hay una buena manera de salir de esto o es, inevitablemente, va a causar problemas?

Answer 1

Aquí está una coordenada libre de la prueba. Para cualquier vector distinto de cero $x$, vamos a $B$ ser lineal mapa cuyo espacio nulo es atravesado por $x$. A continuación, $Ax\in\ker B$ porque $B(Ax)=ABx=0$. Como $\ker B$ es unidimensional, $Ax=\lambda_xx$ para algunos escalares $\lambda_x$ que puede depender de $x$.

Ahora, dados cualesquiera dos vectores distintos de cero $x$$y$, si son linealmente dependientes, entonces $y=kx$ para algunos escalares $k$. De ello se desprende que $\lambda_xy=\lambda_xkx=k\lambda_xx=kAx=Ay=\lambda_yy$ y, por tanto,$\lambda_x=\lambda_y$.

Si $x$ $y$ son linealmente independientes, en su lugar, a continuación,$0=Ax+Ay-A(x+y)=\lambda_xx+\lambda_yy-\lambda_{x+y}(x+y)$. Por independencia lineal, debemos tener $\lambda_x=\lambda_{x+y}=\lambda_y$.

En otras palabras, el factor de $\lambda_x$ es idéntico para cada vector distinto de cero $x$, es decir, existen algunos $\lambda$ tal que $Ax=\lambda x$ por cada $x$, lo que significa que $A=\lambda I$.

Answer 2

Podemos hacer esto mediante la inspección. Supongamos $A$ conmuta con todas las de la matriz. Deje $E_{ij}$ tienen todas las entradas iguales a cero, excepto el $(i,j)$-ésima, que es $1$ . Entonces $$\delta_{\ell j}a_{ki}=[AE_{ij}]_{k\ell}=[E_{ij}A]_{k\ell}=\delta_{ki}a_{j\ell}$$ así que si $\ell\ne j$ $k=i$ nos da $a_{j\ell}=0$, por lo tanto $A$ es diagonal. Si $\ell=j$ $k=i$ obtenemos $a_{ii}=a_{jj}$, por lo tanto $A$ es escalar.

Answer 3

Aquí está una insinuación:

Deje $E_{ij}$ ser la matriz con un uno en la $ij$th posición y ceros en todas las demás. Escriba lo que significa para $$M E_{ij} = E_{ij} M$$ para sostener, en términos de las entradas de $M$.

Answer 4

Aquí algo de un exceso de respuesta para lo que vale.

Una normal de la matriz es una matriz que es unitarily similar a una matriz diagonal. Otra caracterización es que una matriz $M$ es normal iff $M^* M = M M^*$.

Si $M$ conmuta con todas las matrices, entonces es claro que es normal. A partir de esto, hemos $M = UDU^*$ para algunos unitario de la matriz $U$. Escribir $MU = UDU^* U = UD$ y, a continuación, utilizar la conmutatividad para escribir $UM = UD$. Finalmente cancelar el $U$'s a la conclusión de que la $M$ debe ser diagonal.

Entonces si $P$ es el elemental de la matriz que swaps de filas $i$ $j$ cuando se aplica a $M$$PM$, ya que el $MP$ swaps de columnas y es el mismo que $MP$, llegamos a la conclusión de cada elemento diagonal es la misma.