Pruebas $\left\| \int_a^b f(x) \,dx\right\| \leq \int_a^b \| f(x) \|\, dx,$ para $f = (f_1,f_2,\dots,f_n):[a,b] \to \mathbb{R}^n$

Question

Sea $v = (v_1, \dots, v_n)$ y $\| v \| = (\sum | v_i |^2)^{1/2}.$ Me gustaría demostrar que $$ \left\| \int_a^b f(x)\, dx\right\| \leq \int_a^b \| f(x) \| \, dx, $$ donde $f = (f_1,f_2,\dots,f_n):[a,b] \to \mathbb{R}^n,$ y $$ \int_a^b f(x) \, dx = \left(\int_a^b f_1(x) \,dx,\; \dots, \int_a^b f_n(x) \, dx \right) $$

Mi método está más abajo, pero lo oculto para no "contaminar" las posibles ideas/respuestas que otros puedan tener. ¡Gracias de antemano!

Un esbozo es el siguiente: Sea $y = \int f(x)\, dx, \; y_i = \int f_i(x)\, dx,$ para $i = 1,\dots, n.$ Todas las integrales serán de $a$ a $b.$
$\|y\|^2 = \sum y_i^2 = \sum y_i \int f_i\, dx = \int \left(\sum y_if_i\right) dx$ Reconociendo que $\sum y_i f_i \leq \|y\|\|f\|,$
$\|y\|^2 =\int \left(\sum y_if_i\right) dx \leq \int \|y\| \|f\| \, dx = \|y\| \int \|f\|\, dx$ Así que.., $\|y\| \leq \int \|f\| \, dx.$ Este argumento me parece bastante incompleto... de ahí que me interese conocer las opiniones de los demás sobre cómo demostrar esta desigualdad.

Answer 1

No sé si has resuelto la prueba utilizando sumas de Riemann, pero supongo que ese método sería desesperadamente complicado. En lugar de eso, ilustraré tu demostración con ejemplos concretos para que sea menos "esquemática".

Examinamos $n=3$ . Sea $f=(f_1,f_2,f_3)$ y que $v=\left(\int_a^bf_1,\int_a^bf_2,\int_a^bf_3\right)$ . Tenemos $$\begin{split}\|v\|^2&=\left(\int_a^bf_1\right)^2+\left(\int_a^bf_2\right)^2+\left(\int_a^bf_3\right)^2\\ &=\left(\int_a^bf_1\right)\left(\int_a^bf_1\right)+\left(\int_a^bf_2\right)\left(\int_a^bf_2\right)+\left(\int_a^bf_3\right)\left(\int_a^bf_3\right).\end{split}$$

Ahora bien, como cada $\left(\int_a^bf_i\right)$ es un número, podemos moverlo dentro del signo integral, por lo que la ecuación anterior se convierte en $$\int_a^b\left(\int_a^bf_1\right)f_1+\int_a^b\left(\int_a^bf_2\right)f_2+\int_a^b\left(\int_a^bf_3\right)f_3.$$ Como ahora tenemos suma de tres integrales todas de $a$ a $b$ podemos sumar todos los integrandos y ponerlos bajo un signo integral, de modo que lo anterior se convierte en $$\int_a^b\left[\left(\int_a^bf_1\right)f_1+\left(\int_a^bf_2\right)f_2+\left(\int_a^bf_3\right)f_3\right].$$ Dentro del paréntesis está el producto interior de $v=\left(\int_a^bf_1,\int_a^bf_2,\int_a^bf_3\right)$ y $f=(f_1,f_2,f_3)$ para que podamos escribirlo de forma compacta como $$\int_a^{b}v\cdot f.$$ Ahora, $v\cdot f$ es una función de $[a,b]$ a $\mathbb{R}$ como se puede reconocer fácilmente por el paréntesis, por lo que tenemos del cálculo

$$\int_a^{b}v\cdot f\,\leq\int_a^b|v\cdot f|.$$

Y aquí es donde necesitas la definición de la suma de Riemann. Nuestra prueba es construido sobre ¡el caso similar para la función de valor real! No tenemos que volver a complicarnos la vida. Ahora, según la desigualdad de Cauchy-Schwartz, $|v\cdot f|\leq\|v\|\|f\|$ por lo que, de nuevo por propiedades elementales de la integral de Riemann para funciones de valor real, $$\begin{split}\|v\|^2\leq\int_a^{b}|v\cdot f|\,&\leq\int_a^b\|v\|\|f\| \\ &=\|v\|\int_a^b\|f\|.\end{split}$$

Dividir $\|v\|$ ahora obtenemos $$\|v\|\leq\int_a^b\|f\|.$$

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Resumiendo la prueba, hemos utilizado tres hechos elementales:

1. Si dos funciones de valor real $f,g$ son integrables de Riemann en $[a,b]$ y $f\leq g$ en $[a,b]$ entonces $\displaystyle\int_a^bf\leq\int_a^bg$ .
2. Si $f$ es integrable de Riemann, entonces $|f|$ es integrable de Riemann, y $\displaystyle\int_a^bf\leq\int_a^b|f|$ .
3. Desigualdad de Cauchy-Schwartz: para $v,w\in\mathbb{R}^n$ tenemos $\displaystyle|v\cdot w|\leq\|v\|\|w\|$ .

Las pruebas de las dos primeras se obtienen directamente de la definición, es decir, de la suma de Riemann. Aquí es donde la utilizamos. Como ahora se trata de vector-valued funciones, el estructura del espacio vectorial debe entrar en juego. Así que no debería sorprendernos, pensándolo bien, que el producto interior y la desigualdad de Cauchy-Schwartz aparezcan en nuestra demostración. Y esto también demuestra el poder del álgebra lineal en el análisis. Utilizando la suma de Riemann de la función entera $f=(f_1,f_2,\ldots,f_n)$ para demostrar la desigualdad sería entonces ignore la estructura del espacio vectorial, lo que no es una elección acertada, me temo.

Answer 2

He encontrado un enfoque con la inducción y Cauchy-Schwarz :

Para $n=1$ es fácil. Para $n=2$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, \begin{align} \left(\int_{a}^{b} f_{1}(x)dx\right)^{2}&\leq \left(\int_{a}^{b}\left( \sqrt{f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}}+f_{2}(x)\right)dx\right)\left(\int_{a}^{b}\frac{f_{1}(x)^{2}}{\sqrt{f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}}+f_{2}(x)}\right)dx\\ &=\left(\int_{a}^{b}\left( \sqrt{f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}}+f_{2}(x)\right)dx\right)\left(\int_{a}^{b}\left( \sqrt{f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}}-f_{2}(x)\right)dx\right) \\ &=\left(\int_{a}^{b} \sqrt{f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}}dx\right)^{2}-\left(\int_{a}^{b}f_{2}(x)\right)^{2} \end{align}

Supongamos que se cumple para algunos $n$ . Entonces para $n+1$ , \begin{align} \sum_{k=1}^{n}\left(\int_{a}^{b}f_{k}(x)dx\right)^{2}&\leq \left(\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)^{2}}dx\right)^{2} \\ &\leq \left(\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}f_{k}(x)^{2}}dx\right)^{2}-\left(\int_{a}^{b}f_{n+1}(x)dx\right)^{2} \end{align}