El usuario8268 tiene razón. Permítanme elaborar un poco en su argumento.
Cuando hablamos del mapa $F\colon M\to N$ nos referimos realmente a la composición de mapas $M \xrightarrow{G} F(M) \xrightarrow{\iota} N,$ donde $G\colon M \to F(M)$ es sólo el mapa $F$ con su alcance restringido, y $\iota\colon F(M) \to N$ es la inclusión.
Ahora, afirmamos que $G$ es un difeomorfismo y $\iota$ es una incrustación suave, por lo que $F = \iota \circ G$ es una incrustación suave.
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Desde $F\colon M\to N$ es una inmersión inyectiva, y como $G$ es continua, tenemos que $G\colon M\to F(M)$ es una inmersión biyectiva, por lo que $G$ es un difeomorfismo.
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Desde $F(M)$ está incrustado, tenemos que $\iota\colon F(M) \to N$ es una incrustación suave.
Algunas observaciones:
(1) En el caso de la Figura 8, lo que falla es que $\iota$ no es una incrustación suave, sino una inmersión inyectiva. Sin embargo, hay que tener en cuenta que $G$ sigue siendo un difeomorfismo en este caso porque así es como definir tanto la estructura suave como la topología de la Figura 8.
(2) En el primer punto, necesitamos el hecho de que $G\colon M \to F(M)$ es continua. De lo contrario, no podemos concluir inmediatamente que $G$ es suave.
Por ejemplo, si a la Figura 8 se le diera alguna topología extraña -- ni la topología heredada de $M$ declarando $G$ un difeomorfismo, ni la topología heredada de $N$ como un subespacio, sino algo realmente extraño entonces el mapa $G$ puede no ser continua.
Entonces, ¿por qué $G$ ¿constante en nuestro caso? Bueno, ya que nos dieron que $F\colon M\to N$ es continua, y como $F(M)$ lleva la topología del subespacio (en virtud de estar incrustado), podemos concluir que el mapa restringido $G$ es, de hecho, continua.
