Ayuda con $\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{2x}^{2}x^2\sin(y^4)\,dy\,dx$

Question

Normalmente hago mis problemas por mi cuenta y luego compruebo la solución con Wolfram Alpha, pero en esta situación, no me está ayudando en absoluto... No sé si me he equivocado en la respuesta, o si wolfram está utilizando alguna identidad trigonométrica que desconozco...

\begin{align} \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{2x}^{2}x^2\sin(y^4)\,dy\,dx&=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{y/2}x^2\sin(y^4)\,dx\,dy\\ &=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}\left[x^3\sin(y^4)\right]_{x=0}^{x=y/2}\,dy\\ &=\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{2}y^3\sin(y^4)\,dy\\ &=\frac{1}{96}\left[\sin(y^4)\right]_{y=0}^{y=2}\\ &=\frac{\sin(16)}{96} \end{align}

Esto es lo que se me ocurrió, pero wolfram me da la respuesta de $$\frac{\sin^2(8)}{48}$$

No hace falta decir que no soy el mejor para recordar mis identidades trigonométricas. Tampoco he visto nada en la página de wikipedia de las identidades que me sirva de ayuda.

Answer 1

Tu antiderivada final es incorrecta. Deberías tener

$$\int y^3 \sin{y^4} dy = -\cos{y^4}$$

Evaluando, esto nos lleva a

$$\frac{1}{96} (-\cos(16) - (-\cos(0)) = \frac{1 - \cos{16}}{96}$$

Como comprobación de cordura, la evaluación numérica de esta cantidad coincide con la evaluación de Wolfram Alpha de $\sin^2(8)/48$ .

Answer 2

Usted escribe $\frac{1}{96}\left[\sin(y^4)\right]_{y=0}^{y=2}$ , pero debería ser $\frac1{96}[-\cos{y^4}]_0^4$ .

Answer 3

Cuando hagas la segunda integración, deberías obtener: \begin{align} &=-\frac{1}{96}\left[\cos(y^4)\right]_{y=0}^{y=2}\\ &=-\frac{\cos(16)}{96}+\frac{1}{96} \end{align}

Ahora utiliza la identidad $\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ y deberías obtener la misma respuesta que wolfram.