Demostrando que si una secuencia de enteros satisface$0<a_{k+1}-a_k<r$, entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas

Question

Si$a_0, a_1, a_2,...$ es una secuencia infinita de enteros que satisfacen$0 < a_{k+1} - a_k < r$ para algunos$r$ fijos, entonces demuestre que la secuencia contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Esto se parece a Van der Waerden, pero no sé cómo aplicar la condición.

Answer 1

Vamos a probar lo siguiente:

Supongamos $A = \{a_i\}_{i = 0}^{\infty}$ es una secuencia de no enteros negativos tales que para todos los $i \ge 1$, $$0 < a_i - a_{i - 1} < r$$ for some positive integer $r$. Then for all positive integers $N$, there exists a subsequence of $$ that is a $$ N término de una progresión aritmética.

(La idea principal detrás de esta prueba es el uso de $a_i$ a inducir una coloración en los enteros. A continuación, utilizamos la VDW en los enteros y se vuelve a traducir a nuestra secuencia.)

Prueba: a partir De la definición de nuestra secuencia de ello se sigue que podemos encontrar al menos un $a_i$ en cada uno de los intervalos de la forma $$I_n = [(n - 1) \cdot r + 1, nr].$$

(Podemos restar una constante de cada una de las $a_i$'s para asegurarse de que $a_0$ se encuentra en el primer intervalo. Esto no va a cambiar a la prueba ya que estamos restando la misma constante.)

Ahora, la construcción de una nueva secuencia $B = \{b_i \}_{i = 1}^{\infty}$ dejando $b_k$ ser uno de los términos de$A$$I_k$. Si hay varios, elegir uno. Definir una partición de los enteros positivos en los conjuntos $C_1, C_2, \cdots, C_r$ de la siguiente manera:

Poner $i$ $C_j$ si $b_i \equiv j \pmod r$.

Por Van der Waerden, existe una $j$ tal que $C_j$ tiene como una progresión aritmética de longitud $N$ para todos los enteros positivos $N$. Deje que estos enteros se $$k, k + d, k + 2d , \cdots, k + (N-1) \cdot d$$ for some $d$. Ahora tenemos que comprobar que el correspondiente $b_i$'s también están en una progresión aritmética. El término en $B$ que corresponde a $k + nd$ $(k + n - 1)\cdot r + j$ ya que ese término tiene que estar en el intervalo de $I_{k + nd}$ y tiene que tener un resto de $j$ mod $r$.

Esto significa que nos podemos encontrar en $b_i$'s que son de la forma $$(k - 1)\cdot r + j, (k + d - 1)\cdot r + j, \cdots, (k + Nd - 1)\cdot r + j.$$

Esto es claramente un $N$ término de una progresión aritmética con diferencia $d \cdot r$. Esto completa la prueba desde nuestra $b_i$s son un subsequence de la $a_i$'s.