Estoy en el medio de una prueba y estoy tratando de entender a un paso de la prueba de que no me dan un duro momento. La prueba es sobre las superficies mínimas y en este momento estoy tratando de entender por qué la media de curvatura tiene que desaparecer sobre una superficie para que sea mínimo. La pregunta no es acerca de la geometría diferencial, pero estoy tratando de ser lo más completa posible. El libro que estoy usando es de Dierkes, Hildebrandt,.. y de su llamado de las Superficies Mínimas I (Página 54..).
Primero un poco de notación y las condiciones del problema. Yo adumbrate la situación de la prueba de manera muy poco, pero la pregunta es estrictamente técnico, por lo que si usted no lo necesita, vaya a la real del problema y encontrar lo que necesita en la notación de la sección más adelante:
NOTACIÓN:
Deje $U$ ser un conjunto abierto en $\mathbb R^2$$w = (u,v) =(u^1,u^2) \in U$.
Deje $X: U\rightarrow\mathbb R^3 $ ser un habitual de la superficie de la clase $ C^2 $ con su imagen esférica definida por $ N = \frac {1}{\mathcal W} X_u \times X_v $.
$\mathcal W = (\mathcal E \mathcal G - \mathcal F^2)^{1/2}$ donde $\mathcal E,\mathcal F, \mathcal G $ son los coeficientes de la primera forma fundamental.
No es $Z:\;U\times(-\varepsilon,\varepsilon)\;\rightarrow \mathbb R^3 ,\;\varepsilon> 0$, que es una Variación de X de la Clase $C^2$, con la propiedad de que $Z(w,0)=X$ todos los $w \in U$. Por expansión de Taylor obtenemos: $Z(w,\varepsilon) =X(w)+Y(w)+\varepsilon^2 R(w,\varepsilon)$ donde $R$ es una continua resto término.
$Y(w)= \frac{\partial}{\partial\varepsilon}Z(w,\varepsilon)|_\varepsilon \in C^1(U,\mathbb R^3) $ se llama la primera variante de la familia de las superficies de $Z(.,\varepsilon)$.
Para las derivaciones que el uso de $ {\partial X}/{\partial u^\beta}=X_{u^\beta}$.
Ahora podemos escribir $Y(w) =\sum \eta^\beta(w)X_{u^\beta} + \lambda(w)N(w)$ $\beta \in {{1,2}}$ $w = (u,v) =(u^1,u^2)$ funciones $\eta^1,\eta^2,\lambda $ de la clase $C^1(U)$.
PREGUNTA:
La realización de una integración parcial, se sigue que: $\int_U [\;(\eta^1\mathcal W)_u +(\eta^2 \mathcal W)_v\;]\;du dv= \int_{\partial U}\mathcal W(\eta^1 dv-\eta^2du)$
Se supone que esta es la integración parcial con la ayuda del teorema de la divergencia. Pero por lo que he entendido integración parcial, tiene que ser un vectorfield no, que no lo es, y una continua scalarfunction. La cosa es que, con lo que tengo, no sé por dónde empezar. Los primeros consejos que me va sería muy apreciada.
Gracias de antemano,
marcel
