Encontrar la base de la intersección de dos subespacios

Question

Encontrar una base para la intersección de los subespacios $X_1$ y $X_2$ de $\mathbb{R^4}$ donde $$X_1=\text{span}\left\{ (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)\right\}$$ y $$X_2=\text{span}\left\{ (1,0,t,0), (0,1,0,t)\right\},$$ donde $t\in \mathbb{R}$ se da.

Bueno, sé que si $v\in X_1\cap X_2$ entonces

$v=a(1,1,0,0)+ b(0,1,1,0)+ c(0,0,1,1)=d(1,0,t,0)+ m(0,1,0,t)$ ,

donde $a, b, c, d, m \in \mathbb{R}$ . Entonces esto implica que

$(0,0,0,0)=v-v=(a-d,a+b-m,b+c-dt,c-mt)$ ,

es decir $$a-d=0$$ $$a+b-m=0$$ $$b+c-dt=0$$ $$c-mt=0.$$

Desde $t\in \mathbb{R}$ está dada, tengo 5 incógnitas y 4 ecuaciones. No puedo resolverlo. ¿Hay alguna otra forma de resolver este problema?

Gracias.

Answer 1

¡Vas por buen camino! Bueno, en realidad queremos resolver el sistema: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -t & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -t \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \\ d\\m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \\0 \end{bmatrix}.$$

Después de un poco de trabajo podemos encontrar la forma escalonada reducida de la matriz de coeficientes ( para $t\neq -1$ como ha señalado @snulty), que es: $$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -t\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}. $$
Basta con resolver el sistema $$R \cdot \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \\ d\\m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \\0 \end{bmatrix}.$$

Claramente, tenemos que $ b = 0.$ También, $ a = d = m$ y $ c= dt$ . Combinando toda la información que tenemos, la solución es: $$\begin{bmatrix} a\\ b \\ c\\ d\\m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a \\ 0 \\ at \\ a\\a \end{bmatrix} = a\cdot \begin{bmatrix} 1\\0\\t\\1\\1 \end{bmatrix}, $$ donde $a \in \mathbb R.$

Así, los vectores incluidos en $X_1\cap X_2$ son de la forma: $$a(1,1,0,0) + a t(0,0,1,1) = a (1,1,t,t).$$

Así, $X_1 \cap X_2 = \operatorname{span}\{ (1,1,t,t)\}.$

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Para $t = -1$ podemos hacer algo similar, o incluso mejor como ha señalado @snulty, en ese caso $X_2 \subset X_1$ Así que $X_1 \cap X_2 = X_2.$

Answer 2

Me gusta la respuesta dada por @thanasissdr y añadiré un planteamiento sencillo para complementar el suyo, que funciona en este caso porque las ecuaciones no son demasiado complicadas.

Se puede ver muy fácilmente que $a=d$ para la primera ecuación, $c=mt$ de la cuarta. Usando estos en los dos del medio se obtiene una ecuación simultánea:

\begin {align} &b+a-m=0 \\ &b-at+mt=0 \end {align}

Restando los dos se obtiene esto:

$$a(1+t)=m(1+t)$$

Ahora para $t\neq -1$ podemos concluir que $a=m=d$ y $b=0$ y $c=at$

Así que $(a,b,c,d,m)=a(1,0,t,1,1)$ o desde $v=d(1,0,t,0)+m(0,1,0,t)=a(1,1,t,t)$ .

Podemos concluir que la intersección es unidimensional y tomando $a=1$ digamos:

$$X_1\cap X_2=\operatorname{span}\{(1,1,t,t)\}$$

Probablemente pueda justificar que cinco variables y cuatro restricciones sugieren que habrá una variable libre y, por tanto, una dimensión $1$ espacio al final.

Ahora para el caso que excluimos $t=-1$ podemos ver que si $X_1=\operatorname{span}\{e_1,e_2,e_3\}$ entonces $X_2=\operatorname{span}\{e_1-e_2,e_2-e_3\}$ . Así que $X_2\subset X_1$ y por lo tanto $$X_1\cap X_2=X_2$$

Nuevamente se puede justificar esto al notar que cuando $t=-1$ utilizando las ecuaciones uno y cuatro vemos que las ecuaciones dos y tres son iguales. Así que cinco incógnitas y tres restricciones sugieren que el espacio será $2$ dimensional.

Por último, si quieres comprobar las dimensiones, puedes utilizar

$$\dim(X_1+X_2)=\dim(X_1)+\dim(X_2)-\dim(X_1\cap X_2)$$

$\dim(X_1+X_2)=3,4$ sólo así $\dim(X_1\cap X_2)=1,2$ sólo.