Relación entre el propagador y la probabilidad para el pozo infinito.

Question

Esto puede ser una pregunta fácil, pero estoy muy confundido al respecto.

Para el infinito plaza bien, la (dependiente del tiempo) funciones propias de la energía son (dentro del pozo):$$\psi_n(x,t) = \sqrt{2/L}\:e^{-iE_nt/\hbar}\:sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$

con $E_n = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2}\hbar^2$ los autovalores de la energía, y $L$, el ancho del pozo. Así, la probabilidad de encontrar una partícula de energía $E_m$ entre $x = a$ e $x = b$ en el tiempo de $t$ se da por Nacido de la regla:$$P(a,b;t) = \int_{a}^{b}\psi_m(x)^*\psi_m(x)dx$$

Esta probabilidad puede ser entendida como la probabilidad de que una partícula que se encuentra entre $a$ e $b$ en algún momento, y cada una de las $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es un cuadrado de probabilidad.

Por otro lado, el propagador es la amplitud de la partícula para viajar $a\rightarrow b$ tiempo $t_a\rightarrow t_b$: $$Propagador = \langle x_b,t_b\rvert x_a,t_a\rangle = \langle x_b,t_b\rvert(\sum_m\rvert m\rangle\langle m\rvert)\rvert x_a,t_a\rangle = \sum_m\psi_m(x_b,t_b)^*\psi_m(x_a,t_a) = \sum_m e^{iE_m(t_b-t_a)/\manejadores}\psi_m(x_b)^*\psi_m(x_a)$$

Entonces, mi pregunta es: si el predicador es de una amplitud, a continuación, ajustarlo debe dar una probabilidad. Sin embargo, el cuadrado de la ecuación (3): $$P_{a\rightarrow b} = |\langle x_b,t_b\rvert x_a,t_a\rangle|^2 = \left|\sum_m e^{iE_m(t_b-t_a)/\hbar}\psi_m(x_b)^*\psi_m(x_a)\right|^2$$

lo cual obviamente no es una probabilidad, ya que un miembro como $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es en realidad un cuadrado de probabilidad. Entonces, ¿cómo puedo obtener una probabilidad de el propagador?

Answer 1

lo cual obviamente no es una probabilidad, ya que un miembro como $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es en realidad un cuadrado de probabilidad. Entonces, ¿cómo puedo obtener una probabilidad de el propagador?

A la derecha, pero sólo uno de sus x es una variable que contribuye a la probabilidad de amplitud. Recordemos que su estado inicial es $|x_0,t_0\rangle$, por lo que si queremos ampliar en autoestados escribimos (permítanme aprovechar $t_0 = 0$)

$$ |\Psi(x_0, 0)\rangle = |x_0,t_0\rangle= \sum_m |m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle $$

Podemos igualmente ampliar el estado final en autoestados

$$ |\Psi(x, t)\rangle = |x,t\rangle= \sum_n e^{iE_nt}|n\rangle\langle n|x,t\rangle $$

así que si tenemos la superposición de las sumas que se derrumbará a uno

$$ \langle x,t\rvert x_0,t_0\rangle = \sum_m e^{iE_mt/\manejadores} \langle x ,t|m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle= \langle x ,t| \sum_m e^{iE_mt/\manejadores} |m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle $$

El punto es que el "extra" términos no son parte de su densidad, son constantes con respecto a la posición final.

---

También, tenga cuidado. Este no le dan a la probabilidad. Lo que va a dar la probabilidad es

$$P(a\leq x \leq b)= \int_{a}^b |\langle x,t\rvert x_0,t_0\rangle |^2 dx $$

Answer 2

Sus cálculos son perfectamente correctas, así que voy a abordar directamente la cuestión básica que usted está planteando. En particular, ¿por qué es la dimensionalidad de $\langle x_b,t_b|x_a,t_a\rangle$ no tanto como para su módulo plaza de tener la dimensionalidad de un lineal de densidad de probabilidad, es decir, $L^{-1}$. El problema no es sensible a la imagen que utilizamos, así que voy a utilizar la imagen de Schrödinger.

La razón es que en un espacio continuo, la posición de autoestados no normalizable y se Dirac-normalizado. La posición de autoestados se normalizan como $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$. Más explícitamente, si un estado que se localiza en una posición $x_0$, su función de onda, por definición, es $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle=\langle x|x_0\rangle=\delta(x-x_0)$. Por lo tanto, la dimensionalidad de la función de onda en sí es que de ordinario lineal de densidad de probabilidad. Esto no es una incoherencia, precisamente porque dicha función de onda ha sido reconocido no normalizable y se define como una Dirac-normalizado de la función de onda.

Por supuesto, el habitual de normalización y Dirac-normalización no son la misma y no debe ser considerado simplemente como dos diferentes sabores de esencialmente la misma cosa. El hecho de que la posición de autoestados son Dirac normalizado tiene una impronta en (y es esencial para) su relación con la habitual normalizable estados. Una costumbre normalizable estado, cuando se expresa como una combinación lineal de los otros estados, la combinación lineal tiene la forma de una suma. Considerando, que cuando una costumbre normalizable estado se expresa como una combinación lineal de la posición de los autoestados, la combinación lineal tiene la forma de una integración. Aquí la medida de la integración invariablemente viene con la dimensionalidad de su propia y la dimensionalidad de la posición de autoestados se convierte en esencial en la toma de la dimensionalidad de la combinación lineal de la misma como la dimensionalidad de la habitual normalizable estado. Observe que todos los de este negocio se vendría abajo si la posición de autoestados no había sido Dirac-normalizado-porque desde el conjunto completo de la posición de autoestados es continuo, un genérico normalizble estado tendría que ser expresado como una integración de diferentes posición autoestados (y no como una costumbre que la suma de ellos) y por lo tanto, la dimensionalidad de la medida de la integración haría las ecuaciones inconsistentes sin la "inusual" de la dimensionalidad de la posición de estados propios (lo cual se deben a su Dirac-normalización).

Finalmente, el directo probabilística de la interpretación de un no normalizable estado, como tal, está prohibido. Ellos son, sin embargo, importante como normalizable estados puede ser representado como una combinación lineal de este tipo no normalizable estados. Ver: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_01.pdf (Sección de $2$). A menudo se puede inventar ciertas maneras inteligentes de pensar acerca de las interpretaciones probabilísticas de no normalizable estados, a menudo a través del pensamiento de la no normalizable estado como un límite de una normalizable estado. Por ejemplo, la Dirac-delta puede ser visto como un límite de una Gaussiana. Del mismo modo, como tal, no normalizable impulso autoestados son a menudo considerado como el límite de normalizable conjunto discreto de impulso autoestados sobre una rejilla, etc.