Estimación de un cociente de integrales impropias

Question

Esta fue una pregunta de crédito extra en mi examen sobre integrales impropias. Era:

Definir $ \lfloor{x} \rfloor$ sea el mayor número entero menor o igual a $x$ , donde $x$ es un número real. Calcula:

\begin{equation} \left\lfloor{\ \frac{\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx}{\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\cos 2x\, dx}}\ \right\rfloor \end{equation}

No sé cómo empezar, ya que no creo que ninguna de las integrales sea una función elemental. ¿Alguien puede ayudar?

Editar: Nos dio la primera integral como $\sqrt{\pi}/2$ .

Nota: Este fue el último $10$ pregunta de crédito extra. Fue diseñada para ser difícil.

Answer 1

Si definimos una nueva integral $$I(t)=\int_0^\infty e^{-x^2} (\cos{(tx)}+i\sin{(tx)})\,dx$$ entonces $$\Re{(I(t))}=\int_0^\infty e^{-x^2} \cos{(tx)}\,dx$$ Por lo tanto, para calcular $I(t)$ tenemos que $$\begin{align}I(t)&=\int_0^\infty e^{-x^2} (e^{itx})\, dx\\ &=\int_0^\infty e^{itx-x^2}\, dx\\ &=\int_0^\infty e^{-(x^2-itx)}\, dx\\ &=\int_0^\infty e^{-((x-\frac{it}2)^2-(\frac{it}2)^2)}\, dx\\ &=\int_0^\infty e^{-(x-\frac{it}2)^2-\frac{t^2}4}\, dx\\ &=e^{-\frac{t^2}4}\int_0^\infty e^{-(x-\frac{it}2)^2}\, dx \end{align}$$ Ahora usando la sustitución $u=x-\frac{it}2\to dx=du$ tenemos $$I(t)=e^{-\frac{t^2}4}\int_{-\frac{it}2}^\infty e^{-u^2}\, du=e^{-\frac{t^2}4}\int_0^\infty e^{-u^2}\, du+e^{-\frac{t^2}4}\int_{-\frac{it}2}^0 e^{-u^2}\, du$$ Ahora se puede evaluar la segunda integral utilizando la sustitución $v=iu\to du=-idv$ que da $$e^{-\frac{t^2}4}\int_{-\frac{it}2}^0 e^{-u^2}\, du=e^{-\frac{t^2}4}\int_{\frac{t}2}^0 e^{-(-iv)^2}\, (-i)dv=ie^{-\frac{t^2}4}\int_0^{\frac{t}2} e^{v^2}\, dv$$ Así que tenemos $$I(t)=e^{-\frac{t^2}4}\int_0^\infty e^{-u^2}\, du+ie^{-\frac{t^2}4}\int_0^{\frac{t}2} e^{v^2}\, dv$$ Ambas integradas son reales y estrictamente positivas por lo que podemos decir que $$\Re{(I(t))}=e^{-\frac{t^2}4}\int_0^\infty e^{-u^2}\, du=e^{-\frac{t^2}4}\int_0^\infty e^{-x^2}\, dx=\int_0^\infty e^{-x^2} \cos{(tx)}\,dx$$ Entonces tenemos finalmente una respuesta de $$\left\lfloor{\ \frac{\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx}{\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\cos {(2x)}\, dx}}\ \right\rfloor=\left\lfloor{\ \frac{\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx}{e^{-\frac{(2)^2}4}\int_0^\infty e^{-x^2}\, dx}}\ \right\rfloor=\left\lfloor\frac1{e^{-1}}\right\rfloor=\left\lfloor e\right\rfloor=2$$

Answer 2

Sin números complejos - y tal vez lo que su instructor estaba pensando:

Escribe $$ f(t) = \int_0^\infty e^{-x^2}\cos (t x) \, dx.$$ Diferenciar (con respecto a $t$ ): $$f'(t) = - \int_0^\infty e^{-x^2} x \sin (t x) \, dx.$$ [Espero que tu instructor permita la diferenciación bajo el signo integral, 'como es obvio'. Si no, se puede justificar con palabras como 'convergencia dominada' - pero...]

Integrar (con respecto a $x$ ) por partes, con $du = e^{-x^2} (-2x)/2 \,dx$ y $v =\sin (t x)$ : $$f'(t) = \bigg( 1/2\, e^{-x^2} \sin(tx)\bigg|_0^\infty - 1/2\, \int_0^\infty e^{-x^2} t \cos (tx)\, dx \bigg).$$ El primer término es cero, y podemos tomar el factor de $t$ fuera de la integral, de modo que uno termina con $$ f'(t)= {-t\over 2} f(t).$$ Dividir por $f(t)$ y resolver para la constante de integración, para obtener $$ f(t) = f(0)\, e^{-t^2/4}.$$ [Dudas sobre la manipulación formal de dividir por $f(t)$ como $f(t)$ podría ser cero puede ignorarse, en este caso, debido al llamado teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales].

En cualquier caso, como en la respuesta de Peter Foreman, su proporción es $$ \left\lfloor f(0) \over f(2) \right\rfloor = \left\lfloor f(0) \over e^{-2^2/4}\, f(0) \right\rfloor =\left\lfloor e \right\rfloor = 2.$$

Por cierto, la diferenciación bajo el signo de la integral se conoce a menudo como el truco de Feynman.

Answer 3

Este es mi comienzo incompleto.

$\begin{array}\\ \int_0^{\infty} e^{-x^{2}}\cos 2x dx &=\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}Re(e^{2ix}) dx\\ &=Re\int_0^{\infty} e^{-x^{2}+2ix} dx\\ &=Re\int_0^{\infty} e^{-x^{2}+2ix-i^2+i^2} dx\\ &=Re\int_0^{\infty} e^{-(x-i)^2-1} dx\\ &=Re\frac1{e}\int_0^{\infty} e^{-(x-i)^2} dx\\ \end{array} $

Esto muestra dónde está el $1/e$ viene de.

Si podemos demostrar que $Re\int_0^{\infty} e^{-(x-i)^2} dx =\int_0^{\infty} e^{-x^{2}}dx $ entonces hemos terminado, pero no sé cómo hacerlo.