Demostrar que $\sum\limits_{i=0}^{k} p^{2i}$ ($p$ es primo) nunca es un cuadrado perfecto

Question

Demostrar que $$ \sum_{i=0}^{k} p^{2i} $$ donde $k > 0$ $p$ es arbitraria prime, nunca es un cuadrado perfecto. Creo que se puede demostrarlo dejando $q = \sum\limits_{i=0}^k a_ip^i$, para luego expandirse $q^2$ e igualando los coeficientes de $p^l$ $q^2$ y la suma original, así que no muestran tales $a_i$ $q$ existen. Pero yo soy un poco buscando una solución más elegante. Gracias.

Answer 1

Mi parcial de proceso:

Suponga $x^2=\sum_{i=0}^{k} p^{2i}$. De trabajo modulo $p$ da $x^2\equiv 1\pmod p$ o de: $$x\equiv\pm1 \pmod p.$$ Utilizando la fórmula para la potencia de la serie se obtiene: $x^2=\frac{p^{2(k+1)}-1}{p^2-1}$ o de: $$x^2^2-x^2=p^{2(k+1)}-1\\ (xp)^2+1^2=(p^{k+1})^2+x^2$$ Esto es en la forma $x^2+y^2=z^2+w^2$, que como se ha discutido aquí, es de la forma: $$(xp,1,p^{k+1},x) = (a c + b d , b c - a d , a c - b d , a d + b c),$$ Que conducen a algunas identidades más complejas entre $a$, $b$, $c$ y $d$. Por ejemplo, $bc-ad=1$ implica $(a,b)=(a,c)=(b,d)=(c,d)=1$.