Cómo resolver$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{3x+\cos x}$ usando la regla de L'Hospital

Question

Esta pregunta es bastante fácil si podemos resolver sin el uso de L'Hospital de la Regla. Podemos decir que como $x$ va a la $\infty$, $\sin x$ e $\cos x$ todavía oscilan entre $-1$ e $1$. Así que, no mucho efecto de ellos. Así, nos quedamos con $\frac{x}{3x}= \frac{1}{3}$. Que fácil.

Pero, mi pregunta dice que tenemos que resolver este límite utilizando la regla de L'Hospital de sólo. No sé qué hacer cuando llegamos a $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1+\cos x}{3- \sin x}$$ de Cómo seguir adelante con L'Hospital de la regla?

Answer 1

Considerar los puntos de $x_k=2k\pi$ e $y_k=(2k+1)\pi$, $k \in \mathbb N$. Si dejamos $f(x) = \frac{1+\cos x}{3-\sin x}$, a continuación, $f(x_k) = 2/3$ e $f(y_k) = 0$. Esto significa que, sin embargo, amplias $x$ consigue, siempre habrá puntos en los que $f(x)=1/3$ y en los puntos en que $f(x)=0$. Por lo tanto, el límite de $f(x)$ como $x\to\infty$ no existe.

Usted tiene que tener cuidado de lo que conclusiones puedes sacar de esto. Esto no implica que el límite se inicia con no existe. Usted puede usar L'Hospital de la regla sólo si el límite de la "transformada" existe una función. Porque el límite de $f(x)$ no existe, usted no puede usar la regla de L'Hospital de aquí.

Answer 2

Puede combinar el principio de compresión con la regla de L'Hospital: tenemos $$ \frac{x-1}{3x+1}\le \frac{x+\sin x}{3x+\cos x}\le \frac{x+1}{3x-1}$ $ si $x\ge 1$ , y puede aplicar L'Hospital a las fracciones más a la izquierda y más a la derecha, si cree que lo necesita.