Continuidad en un punto en términos de cierre.

Question

Si $X$ e $Y$ son espacios topológicos, para $f:X\to Y$ ser continua en $x_0\in X$ es necesario que $A\subseteq X \land x_0\in\overline{A} \implies f(x_0)\in\overline{f(A)}$.

Me preguntaba si también es suficiente. Una prueba o contraejemplo sería muy apreciada!

Prueba (necesidad): Vamos a $V$ ser un barrio de $f(x_0)$. Desde $f$ es continua, $f^{-1}(V)$ es un barrio de $x_0$ en $X$. Desde $x_0\in\overline{A}$, tenemos $A\cap f^{-1}(V)\neq\varnothing$. Deje $x\in A\cap f^{-1}(V)$. A continuación, $f(x)\in f(A)\cap V$, por lo que $f(A)\cap V\neq\varnothing$; ya que esto se cumple para cualquier vecindario $V$ de $f(x_0)$, tenemos $f(x_0)\in\overline{f(A)}$.

Answer 1

Deje $V\subset Y$ ser un abierto tal que $f(x_0)\in V$. Si $x_0 \in \overline{f^{-1}(Y\setminus V)}$, a continuación, $f(x_o)\in \overline{f(f^{-1}(Y\setminus V))}\subset \overline{Y\setminus V}= Y\setminus V$, una contradicción, por lo $x_0 \not\in \overline{f^{-1}(Y\setminus V)}$. Entonces, si $U = X\setminus \overline{f^{-1}(Y\setminus V)}$ es un abierto en $X$ tal que $x_0\in U$, e $f(U)\subset V$, lo $f$ es continua en a$x_0$.

Answer 2

También es suficiente: vamos a $y=f(x_0)$ e $y \in V$, $V$ abierto en $Y$. Queremos encontrar (continuidad en $x_0$) encontrar algunos de vecindad $U$ de $x_0$ tal que $f[U] \subseteq V$.

Supongamos que esto falla, entonces para cada vecindad $U$ de $x_0$ tendríamos $f[U] \nsubseteq V$, o, equivalentemente, $U \cap f^{-1}[Y\setminus V] \neq \emptyset$.

De ello se desprende que, a continuación, $x_0 \in \overline{f^{-1}[Y\setminus V]}$ y para el supuesto en $f$ implicaría que $y=f(x_0) \in \overline{f[f^{-1}[Y\setminus V]]}$. Pero $f[f^{-1}[B]] \subseteq B$ cualquier $B$ por lo que sería deducir que $y \in \overline{Y\setminus V} = Y\setminus V$ lo cual es un disparate. Así contradicción y un $U$ debe existir.