La dimensión de$m/m^2$ sobre$k$ donde$m=m_P(V)$ y$V=V(x^2-y^3,y^2-z^3)$

Question

Considerar la variedad $V=V(x^2-y^3,y^2-z^3)$ y coordinar el anillo de $\Gamma(V)=\frac{k[x,y,z]}{I(V)}$. Deje $k(V)$ a ser el campo de fracciones de $\Gamma(V)$. Deje $P=(0,0,0)$. Un elemento $f\in k(V)$ con $f=\frac{a}{b}$ e $b(P)\not=0$ se llama a una función racional en $V$ definido en $P$. Deje $\mathscr O_P(V)$ el conjunto de la función racional en $V$ definido en $P$. Ahora $m:=\{f\in \mathscr O_P(V):f(P)=0\}$ es un ideal maximal de el anillo local $\mathscr O_P(V)$.

Mi pregunta es la siguiente. ¿Cuál es la dimensión de la $\frac{m}{m^2}$ sobre $k$ es decir $dim_k\bigg(\frac{m}{m^2}\bigg)$. Lo que puedo suponer es que $x+m^2,y+m^2,z+m^2$ será un generador del espacio vectorial $\frac{m}{m^2}$. Ahora, ¿cómo puedo demostrar que son linealmente independientes también.

Answer 1

La cantidad de ${\rm dim}_k (m / m^2)$ tiene una buena interpretación geométrica como la dimensión del espacio de la tangente a $V$ a $P$.

Si $n$ es la dimensión del espacio afín $\mathbb A^n$ que estamos trabajando, entonces la dimensión del espacio de la tangente a $V$ a $P$ también puede ser definida como

$${\rm dim}(T_P V) := n - {\rm rank} \left[ \left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right\vert_P\right],$$

donde $I = (f_1, \dots, f_2) \subset k[x_1, \dots, x_n]$ es el ideal de la definición de la variedad $V$, e $\left[ \left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right\vert_P\right]$ es la matriz Jacobiana en el punto de $P$.

La equivalencia entre las ${\rm dim}_k (m / m^2)$ e $\left( n - {\rm rank} \left[ \left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right\vert_P\right]\right)$ es demostrado en Hartshorne 5.1. O ver esta respuesta para un dibujo.

Es generalmente el caso de que el Jacobiano de la definición es más fácil de calcular.

En nuestro caso, hemos

$$f_1 = x^2 - y^3, \ \ \ f_2 = y^2 - z^3,$$ así que el Jacobiano es $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} & \frac{\partial f_1}{\partial z} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2x & -3y^2 & 0 \\ 0 & 2y & - 3z^2 \end{bmatrix}.$$

La evaluación de esta matriz Jacobiana en $P = (0,0,0)$, nos encontramos obtener la matriz cero, $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},$$

lo que tiene rango de cero. Por tanto, la dimensión del espacio de la tangente a $P$ es igual a $3$.