Si la matriz nilpotent$A$ y$AB−BA$ conmuta, muestre que$AB$ es nilpotent.

Question

Deje $A$ e $B$ ser $n×n$ matrices complejas.

Si $A$ es nilpotent de la matriz, y $A$ conmuta con $AB−BA$ , mostrar que $AB$ es nilpotent.

De forma equivalente, la pregunta puede ser expresado de la siguiente descripción.

Deje $A$ e $B$ ser $n×n$ matrices complejas.

Definitiva transformación lineal $T$ como $T(B)=AB-BA$.

Si $A$ es un nilpotent de la matriz, y $T^2(B)=0$ , muestran que $AB$es nilpotent.

He sabido que $AB-BA$ es nilpotent.

Furtherly, si $A^m=0$ , considerando a $T^n(B)=\sum_{i=0}^n(-1)^iA^{n-i}BA^i$ , me encontré con que $A^kBA^l=0$ cuando $k+l\geqslant m$.

Pero no sé cómo continuar, gracias por la ayuda.

Answer 1

Por Jacobson lema, $AB-BA$ es nilpotent. Ya que los viajes con $A$, que puede ser al mismo tiempo triangularised. Por lo tanto se puede asumir que tanto $A$ e $AB-BA$ se triangular superior matrices con cero diagonales. Ahora usted puede probar de forma recursiva a partir de $i=n$ hacia $i=2$ que el primer $i-1$ entradas de la $i$-ésima fila de a$B$ son cero. Por lo tanto $B$ es triangular superior y $AB$ es nilpotent.