¿Por qué los mapas lineales actúan como multiplicación de matrices?

Question

En Álgebra Lineal se Hace bien, se dijo

Supongamos $T \in \mathcal{L}(V,W)$ e $v \in V$. Supongamos $v_1,...,v_n$ es una base de $V$ e $w_1,...,w_m$ es una base de $W$. A continuación, $$M(Tv) = M(T)M(v)$$

$M(T)$ es la m-por-n de la matriz cuyas entradas $A_{j,k}$ son definidos por $Tv_k = A_{1,k}w_1 + ... + A_{m,k}w_m$ supongamos $T \in \mathcal{L}(V,W)$ e $v_1,...,v_n$ es una base de $V$ e $w_1,...,w_m$ es una base de $W$.

$M(v)$ es la matriz de vectores $v$.

Me suelen seguir la siguiente prueba:

Supongamos $v = c_1v_1 + ... + c_nv_n$, donde $c_1,...,c_n \in \mathbb{F}$. Así $$Tv = c_1Tv_1 +...+c_nTv_n$$

Por lo tanto

\begin{equation} \begin{split} M(Tv) &= c_1M(Tv_1) + ...+ c_nM(Tv_n)\\ & = c_1M(T)_{.,1} +...+c_nM(T)_{.,n} \\ & = M(T)M(v) \end{split} \end{equation}

Pero tengo preguntas sobre el significado de la prueba. El libro dice que significa cada m-por-n de la matriz $A$ induce lineal mapa de $\mathbb{F}^{n,1}$ a $\mathbb{F}^{m,1}$. El resultado puede ser usado para pensar de cada lineal mapa como una multiplicación de la matriz de mapa después adecuado para volver a etiquetar a través de la isomorphisms dado por $M$.

1. Es la forma de $M(Tv)$ m por 1, $M(T)$ m por n, y el $M(v)$ n por 1?
2. ¿Qué se entiende por conveniente etiquetar de nuevo a través de la isomorphisms dado por $M$? Simplemente tiene que decir $M(T)$ es un isomorfismo lineal mapa entre $M(v)$ e $M(Tv)$?

Answer 1

En respuesta a tu primera pregunta, sí a los tres: $v$ es un elemento de la $n$espacio tridimensional $V$, por lo que el vector de coordenadas respecto a la base va a ser un $n \times 1$ vector columna. Del mismo modo, $Tv \in W$, que es un $n$-dimensiones del espacio, por lo $M(Tv)$ va a ser un $m \times 1$ vector columna. Finalmente, $M(T)$ es construido a partir de la transformación de la $n$ vectores de la base del dominio, formando cada una $m \times 1$ coordenadas del vector columna, que se colocan en un $m \times n$ matriz.

En respuesta a tu segunda pregunta, consulte el siguiente diagrama conmutativo (hecho en Paint :( ):

El proceso de aplicación de $T$ a un vector $v \in V$ es la fila superior del diagrama. Sin embargo, hay un proceso paralelo que pasa entre $\Bbb{F}^n$ e $\Bbb{F}^m$, reflejando el mismo proceso.

El isomorfismo que se hace referencia son las flechas dobles, llevándonos entre $V$ e $\Bbb{F}^n$ e $W$ e $\Bbb{F}^m$, por medio de las coordenadas de los vectores. El vector de coordenadas de mapa en $V$ es lineal en el mapa entre $V$ e $\Bbb{F}^n$ que es invertible, lo que es un isomorfismo (y lo mismo para $W$). Es decir, los dos espacios son estructuralmente idénticas, y todo lo que podemos hacer con un espacio, podemos verlo en los demás.

En $V$, tenemos algunas abstracto vectores, y un resumen transformación lineal $T$ que los mapas de vectores en $V$ a los vectores en $W$. Sin embargo, el uso de este isomorfismo, podemos ver $V$ ligeramente de manera diferente a como $\Bbb{F}^n$, y del mismo modo para $W$, lo que significa que $T$ se reduce a una lineal mapa de $\Bbb{F}^n$ a $\Bbb{F}^m$, que puede caracterizarse como la multiplicación de la matriz. La matriz, en particular, es $M(T)$.

Answer 2

1. Sí, esas serían las formas de los vectores representado como matrices. Teniendo en cuenta que estamos multiplicar por vectores en el derecho.

2. Hay un teorema que si $V$ es $n-$dimensiones de espacio vectorial sobre un campo $F,$ entonces $V$ es isomorfo a $F^n.$ Aquí la isomorfo asignaciones de asignar coordenadas a nuestros vectores y nuestra transformación lineal. Esto no quiere decir que $M$ es un isomorfismo entre $M(v)$ e $M(Tv).$ Estos son en particular los vectores. El mapa de $M$ realidad induce un isomorfismo de $V\to F^n$, isomorfismo de $T\to F^{n\times m}$, y un isomorfismo de $W\to F^m.$

De hecho, me gusta la forma en que se hace. El Autor nos dice que estamos representación de $T$ por una matriz depende de su elección de la base en $F^n$. Un hecho que es importante recordar.