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Interpretación de imágenes que representan series geométricas

Entiendo la fórmula de las series geométricas infinitas como

$$S = \frac{a_{1}}{1-r}$$ si $0<r<1$

Sin embargo, tengo problemas para aplicarlo a estas imágenes enter image description here

Me parece que en la primera imagen, el primer cuadrado representa 1/4 de todo el cuadrado

Para la segunda y la tercera imagen, el rectángulo y el triángulo respectivos constituyen la mitad del cuadrado entero.

No sé qué hacer con esto. ¿Significa que para la primera imagen, por ejemplo, la imagen es $$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n$$

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Shabaz Puntos 403

Tienes razón, en la primera imagen el cuadrado gris más grande es $\frac 12 \times \frac 12$ del área cuadrada original. ¿Cuál es el área del siguiente cuadrado gris? Puede ser útil continuar los lados del primer cuadrado gris hasta el otro lado del cuadrado original. La idea es que los lados de los cuadrados grises forman una progresión geométrica, al igual que el área de los cuadrados grises. ¿Cuál es la suma de la progresión de los lados? ¿Cuál es el cociente de esa progresión? ¿Cuál es el cociente de la progresión de las áreas?

Las mismas ideas resolverán las otras.

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orlp Puntos 373

Puedes resolverlos sin series geométricas.

Digamos que la proporción de cobertura de la primera imagen es $s$ . Divide la primera imagen en cuatro cuadros. La parte superior izquierda y la inferior derecha no están cubiertas en absoluto. El cuadrado de abajo a la izquierda está totalmente cubierto. ¿Y el cuadrado de arriba a la derecha? Pues está cubierto exactamente igual que $s$ mismo. Así que encontramos:

\[s = \frac {1}{4}(0 + s + 1 + 0)\] \{1}{4}[4s = 1 + s\] \[s = \frac {1}{3}\]

De forma similar, para las otras imágenes encontramos ecuaciones $s = \frac{1}{4}(1 + s + 1 + 0)$ y $s = \frac{1}{4}(\frac12 + s + 1 + \frac12)$ .

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mjw Puntos 225

En tu primer ejemplo, con los cuadrados, coloreas $(\frac{1}{4})^n$ con cada nueva casilla. Estas casillas se suman a $\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac14}{1-\frac14}=\frac{1}{3}.$

En su segundo ejemplo, con los rectángulos, el primer rectángulo es $\frac{1}{2}$ del cuadrado, pero su segundo rectángulo es $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}$ , por lo que esta suma es $\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{4})^n = \frac12\cdot\frac{1}{1-\frac14}=\frac12\cdot\frac43=\frac{2}{3}.$

Sus triángulos también suman de la misma manera a $\frac{2}{3}.$

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Tengo problemas para entender la diferencia entre la primera imagen y la segunda y tercera

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No entiendo como consigues que la fórmula de la segunda imagen sea diferente a la de la primera

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En la imagen 1, el cuadrado más grande es $\frac{1}{4}$ el área total. En la imagen 2, el rectángulo más grande es $\frac{1}{2}$ la superficie total.

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Farrukh Ataev Puntos 21

Los primeros términos son $1/4; 1/2; 1/2$ respectivamente.

El segundo término y los siguientes son $1/4$ veces el anterior. Para ver esto: toma la siguiente figura más pequeña y colócala dentro de la figura anterior para comprobar que cuatro de ellas pueden llenarla.

Conociendo el primer término $a_1$ y la relación $r$ se puede utilizar la fórmula de la suma $S=\frac{a_1}{1-r}$ .

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user69786 Puntos 201

1) El área del primer cuadrado sombreado es la cuarta parte del cuadrado original: $\frac{1}{4}$ . El área del segundo cuadrado sombreado es un cuarto de un cuarto del área original: $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . El área del tercer cuadrado sería la cuarta parte: $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . ¿Ves el patrón?

$$ \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \left(\frac{1}{4}\right)^1+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+...=\\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n-1= \frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}. $$

2) El primer rectángulo tiene un área $\frac{1}{2}$ . La segunda es la mitad de la superficie original dividida por cuatro $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$ . La tercera parte es un cuarto de eso $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ :

$$ \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^1+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2+...=\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}. $$

3) El primer triángulo es el área $\frac{1}{2}$ . El segundo triángulo es el área $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$ (una cuarta parte de la mitad del triángulo original). El tercer triángulo tendrá el área $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . Creo que ves que el patrón es el mismo que en el caso anterior:

$$ \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^1+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2+...=\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}. $$

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