1) El área del primer cuadrado sombreado es la cuarta parte del cuadrado original: $\frac{1}{4}$ . El área del segundo cuadrado sombreado es un cuarto de un cuarto del área original: $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . El área del tercer cuadrado sería la cuarta parte: $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . ¿Ves el patrón?
$$ \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \left(\frac{1}{4}\right)^1+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+...=\\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n-1= \frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}. $$
2) El primer rectángulo tiene un área $\frac{1}{2}$ . La segunda es la mitad de la superficie original dividida por cuatro $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$ . La tercera parte es un cuarto de eso $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ :
$$ \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^1+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2+...=\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}. $$
3) El primer triángulo es el área $\frac{1}{2}$ . El segundo triángulo es el área $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$ (una cuarta parte de la mitad del triángulo original). El tercer triángulo tendrá el área $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$ . Creo que ves que el patrón es el mismo que en el caso anterior:
$$ \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\right)+...=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^1+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2+...=\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}. $$