Longitud media de las particiones

Question

Me pregunto si hay un asintótico conocido para un número promedio de términos para las particiones de un número dado. (Quiero decir, dadas todas las particiones de un número dado, ¿cuántos términos tienen en promedio?)

Answer 1

Esto aparentemente fue contestada en 1941 por Erdos y Lehner ver aquí; sin embargo, sólo tengo acceso a 1995 el papel por Fristedt, en el cual se cita el resultado como (2.2):

$$\lim_{n\to\infty} P_n \left(\frac{\pi}{\sqrt{6n}} Y_1 - \log \frac{\sqrt{6n}}{\pi}\le v\right)=e^{-e^{-v}}$$

Aquí, $P_n$ denota la probabilidad de medida, con todas las particiones de $n$ equiprobables. $Y_1$ denota el tamaño de la parte más grande de una partición. Considerando la conjugación, el tamaño promedio de la mayor parte de una partición es igual a la media del número de partes de una partición.

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Más detalles, por la petición. Esta fórmula da más que el promedio de $Y_1$, se da un montón de información acerca de la distribución de probabilidad de $Y_1$. Por ejemplo, $v=0$, obtenemos $Y_1 \le \frac{\sqrt{6n}}{\pi} \log \frac{\sqrt{6n}}{\pi}$ con el límite de la probabilidad de $e^{-1}\approx 0.37$. En lugar de ello, $v=2$, obtenemos $Y_1\le 2\frac{\sqrt{6n}}{\pi}+ \frac{\sqrt{6n}}{\pi}\log \frac{\sqrt{6n}}{\pi}$ con una probabilidad de $e^{-e^{-2}}\approx 0.87$. Por lo tanto, restar, obtenemos $$Y_1\in \left[\frac{\sqrt{6n}}{\pi}\log \frac{\sqrt{6n}}{\pi},2\frac{\sqrt{6n}}{\pi}+ \frac{\sqrt{6n}}{\pi}\log \frac{\sqrt{6n}}{\pi}\right]$$ with probability $e^{-e^{-2}}-e^{-e^{-0}}\approx 0.51$.

Si lo que desea es la respuesta a la pregunta original, es $$Y_1=O\left(\frac{\sqrt{6n}}{\pi}\log \frac{\sqrt{6n}}{\pi}\right)=O(\sqrt{n}\log n)$$

Answer 2

Aquí hay una gráfica del número promedio de particiones en función del número de origen: