Pregunta: Demostrar que $$S(n) = \sum_{d=1}^n \mu(d) \left[ \frac{n}{d^2}\right],$$ where $\displaystyle \left[\frac{n}{d^2}\right]$ denotes the largest integer that does not exceed $\displaystyle \frac{n}{d^2}$. $S(n)$ counts the number of "square-free" integers less than or equal to $n$. That is, it counts the number of integers less than or equal to $n$ that are not divisible by a square integer. $\mu$ is the Mobius function, or $$\mu(n) = \begin{cases}1 & \text{if } n=1,\\ 0 & \text{if } p^2 | n \text{ for some prime $p$},\\ (-1)^r & \text{if } n=p_1p_2\ldots p_r \text{ for distinct primes $p_1,\ldots, p_r$}. \end{cases}$$We are given that $$S(n) = \sum_{j=1}^n \sum_{d^2 | j} \mu(d).$$
Inmediatamente se ve que tan pronto como $d^2 > n$, $\displaystyle \left[ \frac{n}{d^2}\right] = 0$ y los términos más allá de este punto de desaparecer. Por lo tanto, suponiendo un $f$ existe, si $f^2 = n$, entonces la suma anterior se transforma en la $$\sum_{d=1}^n \mu(d) \left[ \frac{n}{d^2}\right] = \sum_{d=1}^f \mu(d) \left[\frac{n}{d^2}\right].$$ estoy un poco atascado, y no estoy seguro de dónde ir después de este punto...
