Usted puede mostrar estas dos definiciones son equivalentes utilizando la integral de Gauss definición de la vinculación de número:
La proposición. Supongamos $\gamma^1,\gamma^2:S^1\rightarrow\mathbb R^3$ son dos orientado suave incrustaciones con distintos imágenes. Entonces el grado del mapa $F:S^1\times S^1\rightarrow S^2$ dado por $(s,t)\mapsto (\gamma^1(s)-\gamma^2(t))\cdot||\gamma^1(s)-\gamma^2(t)||^{-1}$ es igual a
$$\frac{1}{4\pi}\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf r_2}{||\mathbf{r}_1-\mathbf r_2||^3}\cdot (d\mathbf r_1\times d\mathbf r_2).$$
Hay un functor de $Top$ a la categoría de corto exacta secuencias de abelian grupos tales que para cada espacio topológico $X$, obtenemos una breve secuencia exacta
$$0\rightarrow Ext (H_{n-1}(X);\mathbb R)\rightarrow H^n(X;\mathbb R)\xrightarrow\beta Hom(H_n(X);\mathbb R)\rightarrow 0,$$
donde $\beta$ está dado por $\beta([f])([\alpha])=f(\alpha)$. Esta es una versión particular de la universal de los coeficientes de teorema.
Recuerdo el $Ext$ functor en la categoría de abelian grupos. Para cualquier grupo abelian $G$ tenemos $Ext(\mathbb Z/n\mathbb Z,G)=G/nG$.
Ahora, si $M$ es un compacto de colector, a continuación, $Ext(H_{k-1}(M),\mathbb R)=0$ como $\mathbb R$ es divisible abelian grupo, para todos los $k\geq 1$, por lo que tenemos un isomorfismo natural $H^k(M;\mathbb R)\cong Hom(H_k(M);\mathbb R)$ como se describió anteriormente. Sin embargo, como el De Rham del isomorfismo es también natural, se obtiene un isomorfismo natural $\psi_M: H_{DR}^k(M)\rightarrow Hom(H_k(M);\mathbb R)$, que es la composición de la De Rham del isomorfismo $H_{DR}^k(M)\rightarrow H^k(M;\mathbb R)$ y el mapa de $H^k(M;\mathbb R)\rightarrow Hom(H_k(M);\mathbb R)$ acaba de dar. Este isomorfismo es dado por $$\psi_M([\omega])([\alpha])=\int_{\alpha}\omega;$$
por supuesto que estamos usando $C^\infty$ cadenas para encontrar $H_k(M)$.
Si $M$ es orientable y de la dimensión de $n$, hay un canónica generador de $H_n(M)$, el cual puede ser obtenido a partir de una triangulación de $M$, y es una cadena de $\sum_{\sigma}(-1)^{i_\sigma}\sigma$, donde $\sigma$ va por el conjunto de $n$-simplices de la triangulación y la canta $(-1)^{i_\sigma}$ puede ser el único obtenidos a partir de la orientación de $S$ fin de obtener un ciclo. Denotamos este elemento por $[M]$; esto es lo que se denomina clase fundamental. Entonces está claro por esta construcción que $\int_M\omega=\int_{[M]}\omega$ para todos los $n$formas de $\omega$ de $M$.
Por lo tanto, mediante el isomorfismo canónico $\psi_M$, se puede determinar un único elemento de $H_{DR}^n(M)$ tomando el único elemento $[\omega]\in H_{DR}^n(M)$ tal que $\psi_M([\omega])=1,$ es decir, $1=\int_{[M]}\omega=\int_M\omega$.
Nos deja denotar un $\omega$ por $\omega_M$; esto es único a clase en $H_{DR}^n(M)$.
Ahora bien, si tenemos dos orientado colectores $M$ e $M´$ de la dimensión de $n$, y un buen mapa de $f:M\rightarrow M´$, tenemos, porque de la connaturalidad de $\psi_{\_}$, un diagrama conmutativo
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
H^n_{DR}(M')@>\psi_{M'}>> Hom(H_n(M');\mathbb R)\\
@Vf^\ast VV @VVV\\
H_{DR}^n(M)@>\psi_{M}>> Hom(H_n(M);\mathbb R),
\end{CD}
donde la flecha vertical a la derecha es la función de $g\mapsto g\circ f_\ast$. Tenemos
$$
\begin{split}
\int_Mf^\ast\omega_{M'}&=\psi_M(f^\ast([\omega_{M'}]))([M])=\psi_{M'}([\omega_{M'}])\circ f_\#([M])\\
&=\psi_{M'}([\omega_{M'}])(\deg(f)[M'])=\deg(f)\psi_{M'}([\omega_{M'}])([M'])\\
&=\deg(f).(\clubsuit)
\end{split}
$$
Lo que sigue es una modificación de un argumento en el S. Morita de la Geometría de Sincronización Formas:
Ahora, consideremos la siguiente forma diferenciada de $\mathbb R^3$: $$\omega:=x_1dx_2\wedge dx_3-x_2dx_1\wedge dx_3+x_3dx_1\wedge dx_2.$$
Entonces es claro que $d\omega=3dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3$. Deje $\omega_0$ ser th restricción de $\omega$ a la submanifold $S^2$ de $\mathbb R^3$. Tenemos por el teorema de Stokes, que desde $\partial D^3=S^2$
$$\int_{S^2}\omega_0=\int_{D^3} d\omega=3\int_{D^3}dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3=4\pi,$$
como el volumen de un unitario $3$-ball es $\frac{4}{3}\pi$. Aviso de $\omega_0$ es una forma cerrada, ya que es un $2$-forma de $S^2$. A partir de este y $(\clubsuit)$ tenemos
$$\deg(F)=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}F^\ast\omega_0.$$
Ahora considere la función $\hat F:S^1\times S^1\rightarrow\mathbb R^3\setminus\{0\}$ dado por $(s,t)\mapsto \gamma_1(s)-\gamma_2(t)$, y la función de $P:\mathbb R^3\setminus\{0\}\rightarrow S^2$ dado por $x\mapsto x/||x||$. A continuación, $P$ es un homotopy de equivalencia, con homotópica inversa de la inclusión $i:S^2\rightarrow \mathbb R^3\setminus\{0\}$. Aviso de $F=P\circ \hat F$.
Considere la posibilidad de la $2$-forma de $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ dada por
$$\eta:=\frac{1}{||x||^3}(x_1dx_2\wedge dx_3-x_2dx_1\wedge dx_3+x_3dx_1\wedge dx_2),$$
entonces es fácil ver que $d\eta=0$. También, $\eta$ restringido a $S^2$ es igual a $\omega_0$, es decir, $i^\ast\eta=\omega_0$. Tenemos
$$
\begin{split}
\deg(F)&=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}F^\ast\omega_0=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}(P\circ\hat F)^\ast\omega_0\\
&=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}(\hat F^\ast\circ P^\ast)\omega_0=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}\hat F^\ast\eta
\end{split}
$$
donde la última igualdad se sigue de $P^\ast([\omega_0])=[\eta]$ como $i^\ast([\eta])=[\omega_0]$ e $P$ e $i$ son homotópica inversos.
$\gamma^i$ es un vector de valores de la función de $(\gamma_1^i,\gamma_2^i,\gamma_3^i)$, $i=1,2$.
Tenemos $\hat F^\ast dx_j={\gamma_1^j} '(s)ds-{\gamma^j_2}'(t)dt$ para $j=1,2,3$. A partir de esto no es difícil demostrar que
$$\deg(f)=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}\hat F^\ast\eta=\frac{1}{4\pi}\int_{S^1\times S^1}\frac{\det(\gamma_1'(s),\gamma_2'(t),\gamma_1(s)-\gamma_2(t))}{||\gamma_1(s)-\gamma_2(t)||^3}dsdt.$$
Por último, no es difícil ver esta última integral es igual a la integral de la proposición.
En estas notas se muestra, en la sección 1.4, que la definición de la vinculación número utilizando la integral en nuestra propuesta y la definición de la vinculación número utilizando un diagrama de enlace coinciden.
Ahora vamos a demostrar que su definición coincide con la definición que utiliza el grado de Gauss mapa.
Supongamos que tenemos un suave incrustación $\gamma:S^1\rightarrow \mathbb R^3$. Entonces es claro que podemos construir otra incrustación $\eta:S^1\rightarrow\mathbb R^3$ disjunta de a$\gamma$ tal que una pieza de un diagrama de enlace $\gamma\cup\eta$ se parece a esto
$\hskip2in$![enter image description here]()
A continuación, $[\eta]$ es un generador del grupo $H_1(\mathbb R^3\setminus\gamma)$; este es un estándar nudo de la teoría del hecho; véase, por ejemplo Lickorish, el libro de nudos. Podemos definir la vinculación de número de $\gamma$ con otro distinto, orientado nudo $K$, simplemente definiendo $Lk(\gamma,K)$ como el interger $n$ tal que $[K]=n[\eta]$ en $H_1(\mathbb R^3\setminus\gamma)$. En Lickorish libro se demuestra que la definición usando un diagrama y esta definición coincide, así, en particular, que coincide con nuestra definición de uso de la integral en la proposición.
Fijar un $1$forma $\omega$ de $\mathbb R^3\setminus\gamma$ tal que $\psi_{\mathbb R^3\setminus\gamma}([\omega])([\eta])=1$. Si $K:S^1\rightarrow\mathbb R^3\setminus\gamma$ es un buen incrustación y $n$ es tal que $[K]=n[\eta]$ en $H_1(\mathbb R^3\setminus\gamma)$, luego
$$\int_K\omega=\psi_{\mathbb R^3\setminus\gamma}([\omega])([K])=\psi_{\mathbb R^3\setminus\gamma}([\omega])(n[\eta])=n.$$
Por lo tanto, su definición coincide con la definición que utiliza el primer grupo de homología del complemento de un nudo, y por lo tanto coincide con la definición de uso de la integral de nuestra propuesta, y así a su vez coincide con la definición que utiliza el título del mapa $F$.
