Cómo abordar modelos primos y modelos saturados.

Question

Definimos $T$ como la teoría de las relaciones de equivalencia $\{R_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $R_{n+1}$ refina $R_n$. Demostrar que $T$ 1) tiene una contables primer modelo; pero 2) no contables $\aleph_0$saturada modelo.

Creo entender que las definiciones de los modelos de primer y $\kappa$saturado de modelos, pero no tengo la intuición acerca de ellos. Puede usted explicar cómo uno debe de acercarse a este ejercicio?

Answer 1

Sobre la base del debate en los comentarios, voy a suponer que estamos trabajando con la teoría completa $T$ que dice que $R_0$ tiene infinitamente muchas clases, y para cada una de las $n$, $R_{n+1}$ refina cada clase de $R_n$ en infinidad de clases. Te voy a dar un bosquejo de cómo analyize los modelos contables de $T$.

$T$ no es, ciertamente, $\omega$categoría, simplemente porque las fórmulas $R_n(x,y)$ son parejas no equivalente para $n\in\omega$. Una $\omega$categoría teoría sólo tiene un número finito de fórmulas hasta equivalencia en cada tupla de variables.

La cosa clave a tener en cuenta acerca de un modelo de $M\models T$ es que para cualquiera de un número finito de elementos $a_1,\dots,a_n$, si puedo especificar para cada una de las $a_i$ algunos $k_i$, entonces hay algunas $b\in M$ tal que para todos los $1\leq i\leq n$, tenemos $\lnot R_{k_i}(a_i,b)$, pero $R_{j}(a_i,b)$ para todos los $j<k_i$, a menos que estas especificaciones violaría la transitividad. Vamos a llamar a esto la extensión de la propiedad. Este es un paso importante para demostrar cuantificador de la eliminación y la integridad de la $T$, lo que tendría que hacer para que mis argumentos a continuación precisa.

Cualquier teoría que no es $\omega$categoría debe tener un no-aislado tipo. En este caso, hay un no-aislado $2$-tipo, dado por $p(x,y) = \{x\neq y\} \cup \{R_n(x,y)\mid n\in \omega\}$, afirmando que $x$ e $y$ son distintas, pero viven en la misma clase para todos los las relaciones de equivalencia. Vamos a denotar por $R_\infty$ la relación de equivalencia definida por $R_\infty(x,y) \iff \bigwedge_{n\in \omega} R_n(x,y)$.

Un primer modelo de una teoría omite todos los de la no-aislado tipos, así vemos que en un primer modelo de $T$, $R_\infty$-las clases deben tener el tamaño de $1$. Y de hecho, dado un modelo contable $M\models T$ tal que todos los $R_\infty$-clases de tamaño de $1$, se puede demostrar que los $M$ es primo, mediante la incorporación de $M$ en cualquier otro modelo de $N\models T$ por un "adelante" argumento: enumerar $M$ e incrustarlo en $N$ un punto en un tiempo mediante la extensión de la propiedad anterior. Aquí es importante que todos los de la $R_\infty$-clases tienen el tamaño mínimo ($1$), por lo que nunca se tiene que poner un nuevo elemento en un $R_\infty$ clase $N$ que ya está completo.

Por otro lado, una contables saturado modelo de $M$ debe darse cuenta de tantos tipos como sea posible. En particular, para cualquiera de un número finito de elementos $a_1,\dots,a_n$ en el mismo $R_\infty$ clase $M$ dará cuenta de que el tipo diciendo que $x$ es distinta de todas las $a_i$ pero va en el mismo $R_\infty$ de la clase. Esto demuestra que todos los $R_\infty$ clases debe ser countably infinito. Y en efecto, dado un modelo contable $M\models T$ en el que todos los de la $R_\infty$ clases son countably infinito, se puede argumentar que el $M$ es $\aleph_0$saturada, de nuevo con la extensión de la propiedad y la eliminación de cuantificadores.

Ok, así que sabemos lo que el primer modelo y contables saturado modelo debe ser similar, sólo en términos de los tamaños de las $R_\infty$-clases. ¿Cómo nos aseguramos de que existe? Así, se pueden construir con la mano: Pensar en una completa countably ramificación de los árboles, donde la ramificación en el nivel $n$ es el $R_n$-clases. Un camino a través del árbol denota una $R_\infty$ de la clase. Queremos escoger countably muchos $R_\infty$ clases de poner los elementos en. En primer lugar, para cada rama en el nivel $0$, escoger una ruta a través del árbol que empiece por esa rama, y de color azul. Luego, para cada rama en el nivel $1$, escoger una ruta a través del árbol que empiece por esa rama, y de color azul. Repita. Después de la manipulación de cada nivel, tendremos solamente de color countably muchas ramas azul. Para construir el primer modelo, poner un elemento en cada una de las $R_\infty$-clase de color azul. Para construir el contable saturado modelo, poner countably muchos elementos en cada una de estas clases.

Por último, tenga en cuenta que nosotros no tenemos para recoger $1$ o $\aleph_0$: se podría haber puesto cualquier número de elementos en cada uno de los azul de clases. La libertad para hacer esto muestra que $T$ ha continuum-muchos modelos contables (ya que hay continuidad-muchos subconjuntos de a$\mathbb{N}$, y para cada subconjunto $S\subseteq \mathbb{N}$, podemos asegurarnos de que hay un $R_\infty$ clase de tamaño de $n$ si y sólo si $n\in S$).