$8^n-3^n$ Divisible por 5 - Verificación de prueba.

Question

Instrucción: $\frac{8^k-3^k}{5}=M, M\in\mathbb{N}$

Caso Base: $P(1): \frac{8-3}{5}=1\in\mathbb{N}$

Suponga $P(n): \frac{8^n-3^n}{5}=N$

A continuación, $P(n+1)=8^{n+1}-3^{n+1}=5K$, donde $K$ es en términos de $M$

Escrito LHS en términos de $N$:

$8^n-3^n=5N \to 8\cdot8^n-8*3^n=40N$

$8^{n+1}-3^{n+1}=40M+5\cdot3^{n+1}$

Dividiendo por $5$:

$\frac{8^{n+1}-3^{n+1}}{5}=8M+3^{n+1}=K$ donde $K$ es claramente un entero, como $M$ e $N$ Están definidos para ser enteros.

\begin{array}[lcl] \big|\cos(k)\big| &\geq& \frac{\sqrt{2}}{2} \Big|k-a_k\frac{\pi}{2}\Big| \\ &=& \frac{\sqrt{2}a_k}{4} \Big|\frac{2k}{a_k}-\pi\Big| \\ &\geq& \frac{\sqrt{2}a_k}{4} \frac{1}{a_k^{42}}=\frac{1}{\sqrt{8}a_k^{41}} \\ &\geq& \frac{1}{\sqrt{8}\big(\frac{2k}{\pi}+\frac{1}{2}\big)^{41}} \\ \end--------------------------

Preguntas:

1. Es esto una prueba válida?
2. Añadiendo a esto, es que el pasado de la deducción de $K\in\mathbb{N}$ feria?

Answer 1

Tu prueba es correcta. Le sugiero que use $\implies$ en lugar de $\rightarrow$ en sus pruebas. Además, habría sido más simple si hubieras escrito \begin{align}8^{n+1}-3^{n+1}&=8\times8^n-8\times3^n+8\times3^n-3^{n+1}\\&=8\times(8^n-3^n)+5\times3^n.\end {align}

Answer 2

Sí, la prueba es correcta. A continuación explico cómo ver la aritmética esencia de la cuestión más conceptualmente como el resultado de un producto de la regla, primero usando congruencias, y más tarde con desnudo divisibilidad (en caso de que usted no sabe congruencias).

Conceptualmente la inducción de la siguiente manera muy simple por la multiplicación de los dos primeros congruencias a continuación, utilizando la RCP = Congruencia Producto de la Regla, $ $

$$\begin{align}\bmod 5\!:\qquad \color{#c00}{8}\ &\equiv\ \color{#c00}{3}\\ 8^{\large n}&\equiv 3^{\large n}\quad\ \ \ P(n)\\ \Rightarrow\ \ \color{#c00}{8}\,8^{\large n}&\equiv 3^{\large n}\color{#c00}{3}\quad\ P(n\!+\!1),\ \ \rm by \ CPR\end{align}\qquad $$

es decir, la prueba es un caso especial de la (inductivo) la prueba de la Congruencia de Alimentación de la Regla.. Nota cómo el uso de congruencias destaca innata aritmética estructura que nos permite reducir la inducción a ser fácil, $\,a\equiv b\,\Rightarrow\, a^n\equiv b^n,\,$ con el obvio paso inductivo: multiplicar por $\,a\equiv b\,$ a través de la regla del producto.

Si usted no sabe congruencias podemos conservar este aritmética esencia mediante el uso de un análogo de producto de la regla de la divisibilidad (DPR), $ $ donde $\ m\mid n\ $ medio $\,m\,$ divide $\,n,\,$ es decir

$$\quad\, \begin {align} &5\mid\ \color{#c00}{8\,\ \ -\ 3}\\ &5\mid\ \ \ 8^{\large n} -\ 3^{\large n}\quad\ P(n)\\ \Rightarrow\ \ &5\mid\ \color{#c00}{8}8^{n}\! -\!\color{#c00}33^{\large n}\quad\ \ P(n\!+\!1),\ \ \rm by\ DPR \end{align} $$

$\begin{align}{\bf Divisibility\ Product\ Rule}\ \ \ \ &m\mid\ a\ -\ b\qquad {\rm i.e.}\quad \ a\,\equiv\, b\\ &m\mid \ \ A\: -\: B\qquad\qquad \ A\,\equiv\, B\\ \Rightarrow\ \ &\color{}{m\mid aA - bB}\quad \Rightarrow\quad aA\equiv bB\!\pmod{\!m}\\[.2em] {\bf Proof}\,\ \ m\mid (\color{#0a0}{a\!-\!b})A + b(\color{#0a0}{A\!-\!B}) &\,=\, aA-bB\ \ \text{by %#%#% divides %#%#% terms by hypothesis.}\end{align}$

Comentario $\,m\,$ La prueba en José de la respuesta es nada, pero una (numérica) caso especial de la prueba previa - ver aquí donde me explique que en la longitud. Además de la discusión sobre los temas relacionados en muchos de los anteriores posts.

Answer 3

Sugerencia: use eso si $$8\equiv 3\mod 5$$ then $$8^n\equiv 3^n\mod 5$ $