Desigualdad$|\cos(k)| \geq \frac{1}{2^k}$ para$k\geq 0$

Question

Mi pregunta : ¿Es cierto que $|\cos(k)| \geq \frac{1}{2^k}$ para todos los enteros $k\geq 0$ ?

Lo que he intentado : he comprobado con un equipo en el que la desigualdad se cumple para $0 \leq k \leq 4\times 10^5$. También puedo mostrar que el conjunto de $k$ para que la desigualdad se cumple es infinito ; de hecho, tiene una densidad de al menos $\frac{1}{2}$. A ver que :

Lema. Para $x\in{\mathbb R}$, uno ha $(*):|\cos(x+1)|+|\cos(x+2)| \geq \frac{3}{4}$.

Corolario del lema. Para $x\in{\mathbb R}$, $|\cos(x+1)|\geq \frac{|\cos(x)|}{2}$ o $|\cos(x+2)|\geq \frac{|\cos(x)|}{4}$.

Poner a $x=k$ en el corolario, vemos entonces que si la desigualdad se cumple para $k$, asimismo, llevará a cabo por $k+1$ o $k+2$.

La prueba del lema. Deje $f_1(x)=|\cos(x+1)|$ e $f_2(x)=|\cos(x+2)|$. Desde $f_1$ e $f_2$ se $\pi$-periódico, es suficiente para mostrar $(*)$ a $[0,\pi]$. Ahora, escribir $[0,\pi]=I_1 \cup I_2 \cup I_3$ donde $I_1=[0,\frac{\pi}{2}-1]$, $I_2=[\frac{\pi}{2}-1,\frac{3\pi}{2}-2]$ e $I_3=[\frac{3\pi}{2}-2,\pi]$. Entonces $f_1$ e $f_2$ son cóncavas en cada una de las $I_j$, así que basta de verificación (*) en los extremos, y esto es fácil.

ACTUALIZACIÓN 04/09/2019 : podemos usar el hecho de que $\pi$ ha irracionalidad medida en la mayoría de las $8$ (como se explicó en la respuesta a la vieja pregunta, gracias a i707107 para proporcionar el enlace). De hecho (en toda esta sección cada desigualdad está destinado a ser para todos, pero un número finito de $k$), denotan por $a_k$ un entero tal que $a_k\frac{\pi}{2}$ es la más cercana posible a $k$, por lo que $$\Big|k-\frac{a_k\pi}{2}\Big| \leq \frac{\pi}{4}\tag{1}$$.

A continuación, $\Big|\pi-\frac{2k}{a_k}\Big| \geq \frac{1}{a_k^8}$. Ahora $a_k \sim \frac{2k}{\pi}$, lo $a_k \gt \frac{k}{\pi}$. De ello se desprende que $$\Big|\frac{a_k\pi}{2}-k\Big| \geq \frac{1}{2a_k^7} \geq \frac{\pi^8}{2^7k^7}\tag{2}$$.

Hay entonces dos casos :

Si $a_k$ es incluso entonces $|\cos(k)|\geq Constant\geq \frac{1}{2^k}$. Si, por otro lado, $a_k$ es impar, entonces finito incrementos de la desigualdad de los rendimientos de $\Big|\frac{\cos(k)-\cos(\frac{a_k\pi}{2})}{k-\frac{a_k\pi}{2}}\Big| \geq Constant$ , de modo que $|\cos(k)| \geq Constant \times |k-\frac{a_k\pi}{2}|$.

Así que mi desigualdad se cumple para todos, excepto un número finito de $k$.

Answer 1

Finalmente he encontrado una prueba, basado en i707107 la sugerencia. Mediante el uso de un ordenador programa con la suficiente precisión, uno puede comprobar que la desigualdad se cumple para $k<316$. Por lo que será suficiente para mostrar la desigualdad de la $k\geq 316$.

Denotar por $a_k\frac{\pi}{2}$ el múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ más cercano a $k$, por lo que $\varepsilon_k=\big|k-a_k\frac{\pi}{2}\big| \leq \frac{\pi}{4}$. A continuación, $k=a_k\frac{\pi}{2}\pm\varepsilon_k$.

Si $a_k$ es incluso, a continuación, $\cos(a_k\frac{\pi}{2})=\pm 1$ y, por tanto, $|\cos(k)|=|\cos(\varepsilon_k)| \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ y hemos terminado. Así que podemos suponer sin pérdida de ese $a_k$ es impar.

A continuación, $\cos(a_k\frac{\pi}{2})=0$. El uso de los incrementos finitos fórmula, no hay un $\xi \in [a_k\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4},a_k\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}]$ tal que $\frac{\cos(k)-\cos(a_k\frac{\pi}{2})}{k-a_k\frac{\pi}{2}}=-\sin(\xi)$. De ello se desprende que $\Big|\frac{\cos(k)-\cos(a_k\frac{\pi}{2})}{k-a_k\frac{\pi}{2}}\Big| \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$, por lo que

$$ \begin{array}[lcl] \big|\cos(k)\big| &\geq& \frac{\sqrt{2}}{2} \Big|k-a_k\frac{\pi}{2}\Big| \\ &=& \frac{\sqrt{2}a_k}{4} \Big|\frac{2k}{a_k}-\pi\Big| \\ &\geq& \frac{\sqrt{2}a_k}{4} \frac{1}{a_k^{42}}=\frac{1}{\sqrt{8}a_k^{41}} \\ &\geq& \frac{1}{\sqrt{8}\big(\frac{2k}{\pi}+\frac{1}{2}\big)^{41}} \\ \end{array} $$

Así, la desigualdad a la que queremos que se sigue de

$$ 2^{k} \geq \sqrt{8}\bigg(\frac{2k}{\pi}+\frac{1}{2}\bigg)^{41} $$

que puede ser escrito como $f(k)\geq 0$ donde $f(k)=2^{\frac{k-\frac{3}{2}}{41}}-\big(\frac{2k}{\pi}+\frac{1}{2}\big)$. Tenemos $f'(x)=\frac{\ln(2)}{41}2^{\frac{k-\frac{3}{2}}{41}}-\frac{2}{\pi}$ , de modo que $f'(x)\geq 0$ para $x\geq 3$. Así, por $k\geq 316$, tenemos $f(k)\geq f(316) \gt 0$ lo cual termina la prueba.