¿Por qué una matriz$2×3$ multiplicada por un vector en$\Bbb{R}^3$ da un vector en$\Bbb{R}^2$?

Question

Estoy tan confundido sobre cómo podemos tener un 2x3 la matriz a, se multiplica por un vector en $\Bbb R^3$ y luego terminar con un vector en $\Bbb R^2$. Es posible visualizar esta en todo o tengo que tipo de aceptar ciegamente a este concepto como hechos que voy a aceptar y usar? Alguien puede dar un muy breve resumen sobre el por qué de esto tiene sentido? Porque acabo de ver como, en un mundo (dimensión) en $\Bbb R^3$, se multiplica por un vector en $\Bbb R^3$, y obtiene un vector en $\Bbb R^2$.

Gracias!

Answer 1

Una forma más intuitiva es pensar en una matriz de "realizar" en un vector, en lugar de una matriz de "multiplicar" con un vector.

Vamos a dar un ejemplo. Usted tiene algunas ternas de números reales:

(1,2,3), (2,5,1), (3,5,9), (2,9,8)

y que "se olvide" de la tercera coordenada:

(1,2), (2,5), (3,5), (2,9)

Sorprendentemente, este es un ejemplo de "rendimiento de la matriz." Se puede encontrar una matriz de $M$ que "olvida" la tercera coordenada?

Respuesta:

La matriz es $$\left(\begin{array}{l}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$

Explicación:

Para obtener la primera columna, pensar acerca de lo que sucede en la multiplicación de la matriz a por el vector $(1,0,0)$. Las dos columnas siguientes son similares.

Llamamos a este tipo de matriz $M$ una proyección. Podemos visualizar la proyección como tal.

Se puede ver lo que significa "olvidar" el tercera coordenada?

La parte importante de una proyección es la linealidad:

• Puede que el proyecto de la suma de dos vectores, o usted puede agregar la proyección de dos vectores y se obtiene el mismo resultado.
• Del mismo modo, se puede proyectar una escala vector o escalar del vector y después del proyecto, y obtendrás el mismo resultado.

Podemos llamar a una función con la propiedad de linealidad de una función lineal.

En símbolos, para cualquier lineal $f$,

• $f(v + w) = f(v) + f(w)$
• $f(cv) = cf(v)$

Vemos que la proyección definido anteriormente, es un función lineal. En realidad, se puede comprobar que toda matriz es una función lineal. Quizás es más sorprendente que cada función lineal es una matriz. Usted puede pensar de una matriz como una manera para representar una función lineal.

Answer 2

Por el momento no piensa y multiplicación de matrices.

Se puede imaginar a partir de un vector $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$ y un mapa de vectores en $\mathbb{R}^2$ esta manera, por ejemplo: $$ (x, y, z) \mapsto (2x+ z 3x+ 4y). $$

Los matemáticos han inventado un bonito y limpio manera de escribir ese mapa. Es el formalismo que has aprendido para la multiplicación de la matriz. A ver lo $(1,2,3)$ mapas, calcular la matriz producto $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 11 \end{bmatrix}. $$

Pronto va a ser cómodo con esto, tal como está ahora con cualquier algoritmo que le enseñaron para la multiplicación ordinaria. Entonces usted será libre para centrarse en la comprensión de lo que los mapas de este tipo son útiles para.

Edición en respuesta a un comentario.

No, esto no $(5,11)$ "como" $(1,2,3)$. Aquí es un juguete ejemplo que sugiere donde se puede encontrar este tipo de cálculo. Supongamos que usted tiene un negocio que se basa en tres productos. Les llamamos a, B y C. Para hacer Un necesitará $2$ widgets y $3$ gadgets. Para hacer un B sólo se necesita $4$ gadgets. Para un C sólo necesita un widget. Cómo muchos widgets y gadgets debería usted para hacer de $1$ A, $2$ B y $3$ C? La matriz producto anterior proporciona la respuesta. Usted también podría usar ese $2 \times 3$ matriz de averiguar lo que las órdenes de usted puede llenar si supieran cuantos widgets y gadgets que había en stock.

Las Matrices son útiles en geometría. En un curso de álgebra lineal que aprender a ver que cuando se utiliza la matriz de $$ \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} $$ para asignar el plano de coordenadas (pares de números) a sí mismo de lo que han hecho es ampliar los círculos con centro en el origen en elipses cambiando las escalas a lo largo de las líneas diagonales $y=x$ e $y=-x$ m

Answer 3

Una asignación lineal tiene la propiedad de que asigna subespacios a subespacios.

Por lo tanto, asignará una línea a una línea o $\{0\}$ , un plano a un plano, una línea o $\{0\}$ , y así sucesivamente.

Por definición, los mapas lineales "juegan bien" con la suma y la escala. Estas propiedades nos permiten reducir las declaraciones sobre espacios vectoriales enteros a bases, que son bastante "pequeñas" en el caso de dimensión finita.

Answer 4

Suponga que tiene un verde tanque, un tanque azul y una roja en el tanque, y supongamos que cada uno de litros en el tanque azul de contener .2 L de agua y .1 L de alcohol. Para el tanque azul, es .3 L de agua .6 L de alcohol. El rojo tanque .4 L de agua y .5 L de alcohol. Ahora supongamos que tomamos $b$ litros del tanque azul, $g$ desde el verde, y $r$ desde el rojo, y nos fijamos en la cantidad total de agua ($w$) y alcohol ($a$) que tenemos. Estamos empezando con una tridimensional, vector (cuánto de la verde, azul, rojo y tanques), y terminando con un vector de dos dimensiones (la cantidad de agua y alcohol). Podemos escribir esto como:

$.2 g + .3 b + .4 r = w$
$.1 g + .6 b + .5 r = a$

En la forma de la matriz, que

$$ \begin{bmatrix} .2 & .3 & .4 \\ .1 & .6 & .5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g \\ b \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w\\ a \end{bmatrix}. $$

La multiplicación de un vector de ser una matriz es simplemente una forma compacta de decir "tomar esta cantidad de cada elemento"; en este caso el $.2$ diciendo: "toma el 20% de $b$ conseguir $w$", $.1$ es decir "tomar el 10% de $g$ conseguir $a$", etc. La columna de un número indica el número de entrada que se multiplican, y la fila le dice lo que la salida está contribuyendo.