Generalización de funciones pares / impares

Question

Los siguientes cuatro ejemplos tienen una estructura similar:

1. Cada función $f:\Bbb R \to \Bbb R$ tiene una descomposición única $f = f_e + f_o$ donde $f_e$ es una función par ($f_e(-x) = f_e(x)$) y $f_o$ es una función impar ($f_o(-x) = -f_o(x)$).

2. Cada función $g:\Bbb R\times \Bbb R\to \Bbb R$ tiene una descomposición única $g=g_s + g_a$ donde $g_s$ es una función simétrica (es decir, $g_s(x,y) = g_s(y,x)$) y $g_a$ es una función asimétrica (es decir, $g_a(x,y) = -g_a(y,x)$).

3. Cada matriz de valores reales $M$ tiene una descomposición única $M = M_s + M_a$ donde $M_s$ es simétrica (es decir, $M_s^T = M_s$) y $M_a$ es antisimétrica ($M_a^T = -M_a$),

4. Cada número complejo $z$ tiene una descomposición única $z = z_e+z_o$ donde $\bar {z_e} = z_e$ y $\bar {z_o} = -z_o$. Aquí $z_e$ y $z_o$ son simplemente las partes real e imaginaria de $z$, y "real" e "imaginaria pura" juegan los roles de "par" e "impar".

En cada caso tenemos un espacio $S$ (funciones de valores reales de una o dos variables, matrices, números complejos) y una involución $I:S\to S$:

1. $f(x)\leftrightarrows f(-x)$
2. $f(x,y)\leftrightarrows f(y,x)$
3. $M\leftrightarrows M^T$
4. $z\leftrightarrows \bar z$

Luego, a partir de $I$ identificamos dos subclases especiales de $S$: los elementos "pares", que son simplemente los puntos fijos de $I$, y los elementos "impares", que son "negados" por $I$. Luego, cada elemento del espacio tiene una representación única como la suma de un elemento "par" y un elemento "impar".

Para entender realmente esto, tenemos que definir "negado", y creo que para que funcione necesitamos algo como la división por dos. Si $S$ es un espacio vectorial real, como en los cuatro ejemplos, ambos son directos, y si $I$ es una aplicación lineal $S\to S$ con $I^2=1$, podemos descomponer $x=x_e+x_o$ donde $$\begin{align} x_e &= \frac12\left(x + I(x)\right) \\ x_o &= \frac12\left(x - I(x)\right) \\ \end{align}$$

y claramente $x_e$ es par con respecto a $I$ y $x_o$ es impar.

Pero me parece que debería ser posible hacer que esto funcione en un contexto más general, tal vez de varias formas. Por ejemplo, incluso en espacios donde la escala por $\frac12$ no tiene sentido, todavía se puede resolver $x_e + x_o = x + x$.

Mis preguntas son:

1. ¿Hay un nombre general para este tipo de construcción? ¿Dónde puedo encontrar más información?
2. ¿Hay alguna manera de entenderlo en un contexto menos estructurado que el de un espacio vectorial? ¿Por ejemplo, un grupo? ¿O tal vez algo tan general como un monoide?
3. ¿Resulta ser útil o interesante en algún contexto que no sea un espacio vectorial real o complejo?

Intenté formularlo en lenguaje categórico. $I$ es una flecha con $I\circ I = id_S$, y luego el subobjeto "par" de $S$ es simplemente el igualador de $I$ y $id_S$. Pero me atascé tratando de decidir cuál era el subobjeto "impar".

Answer 1

El término de búsqueda que quieres es teoría de la representación, específicamente en este caso del grupo cíclico $C_2$ de orden $2$. Una representación de $C_2$ en un espacio vectorial $V$ sobre un campo de característica no igual a $2$ dota a $V$ con una involución $I : V \to V$, y esta involución descompone de manera canónica a $V$ como una suma directa de dos componentes isotípicas, a saber, el componente par

$$V_0 = \{ v \in V : Iv = v \}$$

y el componente impar

$$V_1 = \{ v \in V : Iv = -v \}.$$

La descomposición de la suma directa de un vector general dado $v \in V$ es entonces, como dices,

$$v = \frac{v + Iv}{2} + \frac{v - Iv}{2}.$$

Puedes pensar en los componentes par e impar como los eigenespacios de $I$ también.

Existen muchas generalizaciones posibles. La generalización útil más simple reemplaza a $C_2$ con un grupo finito $G$ (el término de búsqueda aquí es "teoría de la representación de grupos finitos"); en este caso, los componentes isotípicos corresponden a las representaciones irreducibles de $G$. Estas son sensibles a la elección del campo base, particularmente a 1) su característica y 2) qué raíces de la unidad existen en él. Por ejemplo, si $G = C_3$ es el grupo cíclico de orden $3$, entonces sobre un campo de característica no igual a $3$ que también contiene todas las terceras raíces de la unidad $1, \omega, \omega^2$, existen tres componentes isotípicas

$$V_0 = \{ v \in V : Iv = v \}$$ $$V_1 = \{ v \in V : Iv = \omega v \}$$ $$V_2 = \{ v \in V : Iv = \omega^2 v \}$$

y la descomposición de la suma directa, que es considerablemente menos obvia, es

$$v = \frac{v + Iv + I^2 v}{3} + \frac{v + \omega^2 I v + \omega I^2 v}{3} + \frac{v + \omega I v + \omega^2 I^2 v}{3}.$$

Generalizando a un grupo cíclico $C_n$ de orden $n$ lleva a la transformada discreta de Fourier, también conocida a veces como el "filtro de las raíces de la unidad."