¿Cómo es la relación "el elemento más pequeño es el mismo" reflexivo?

Question

Deje $\mathcal{X}$ ser el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de la set $\{1,2,3,...,10\}$. Definir la relación $\mathcal{R}$ a $\mathcal{X}$ : $\forall A, B \in \mathcal{X}, A \mathcal{R} B$ fib el elemento más pequeño de $A$ es igual a la del elemento más pequeño de $B$. Por ejemplo, $\{1,2,3\} \mathcal{R} \{1,3,5,8\}$ debido a que el elemento más pequeño de $\{1,2,3\}$ es $1$ que es también el elemento más pequeño de $\{1,3,5,8\}$.

Demostrar que $\mathcal{R}$ es una relación de equivalencia en $\mathcal{X}$.

Desde mi entender, la definición de reflexiva es:

$$\mathcal{R} \text{ is reflexive iff } \forall x \in \mathcal{X}, x \mathcal{R} x$$

Sin embargo, para este problema, usted puede tener la relación con estos dos juegos:

$\{1\}$ e $\{1,2\}$

Entonces, ¿no sería este no ser reflexivo desde $2$ no es en el primer set, pero en el segundo set?

Estoy teniendo problemas para ver cómo este es el reflexivo. Confundirse por la definición aquí.

Answer 1

¿Por qué están las pruebas de la reflexividad por mirar dos elementos diferentes de $\mathcal{X}$? La definición de la reflexividad dice que una relación es reflexiva si cada elemento de a$\mathcal X$ está en relación con sí mismo.

Para comprobar si $\mathcal R$ es reflexiva, acaba de tomar un elemento de $\mathcal X$, vamos a llamar a $x$. A continuación, compruebe si $x$ está en relación con los $x$. Debido a $x=x$, el elemento más pequeño de $x$ es igual a la del elemento más pequeño de $x$. Por lo tanto, por definición de $\mathcal R$, $x$ está en relación con los $x$. Ahora, demostrar que esto es cierto para todos los $x \in \mathcal X$. Por supuesto, esto es cierto porque las $\min(x) = \min(x)$ es siempre verdadera, que es intuitivo. En otras palabras, $x \mathcal{R} x$ para todos los $x \in \mathcal X$, que es exactamente lo que necesitaba para demostrar que $\mathcal R$ es reflexiva.

Usted debe entender que la definición de la reflexividad no dice nada acerca de si los diferentes elementos (decir $x,y$, $x\neq y$) puede ser en la relación $\mathcal R$. El hecho de que $\{1\}\mathcal R \{1,2\}$ no contradice el hecho de que $\{1,2\}\mathcal R \{1,2\}$ así.

Answer 2

Una relación binaria $R$ a través de un conjunto $\mathcal{X}$ es reflexiva si cada elemento de a$\mathcal{X}$ está relacionado con el mismo. La definición más formal ya ha sido dada por usted, es decir, $$\mathcal{R} \text{ is reflexive iff } \forall x \in \mathcal{X}, x \mathcal{R} x$$

Tenga en cuenta que usted ha elegido dos elementos diferentes de los establecidos para realizar su comparación cuando usted debe comparar un elemento con el mismo. También asegúrese de que usted entiende que un elemento puede estar relacionado con otros elementos, así, la reflexividad no prohíbe que. Simplemente dice que todos los elementos deben estar relacionados con la misma.