Hartshorne libro de la Proposición II. 3.2.

Question

En la Proposición II. (3.2) de Hartshorne libro "la geometría algebraica". No puedo entender la prueba de la parte.

La proposición: Un esquema de $X$ es localmente Noetherian iff para cada abierto afín $U = \rm Spec A$, $A$ es un Noetherian anillo.

Basta probar que si $X$ es localmente Noetherian, y $U = \rm Espec$ is an open affine subset then $$ es un Noetherian anillo. Primero mostramos que la $U$ es localmente Noetherian. Supongamos que $V =\rm Spec B$ es un espacio abierto afín en $X$ donde $B$ es un Noetherian anillo. A continuación, $U\cap V$ puede ser cubiertos por la apertura de los conjuntos de la forma $D(f)\cong\rm Spec(B)$ donde $f\in B.$ $B$ es un Noetherian anillo lo es $B_f.$ Como abrir los conjuntos de la forma $V$ portada $X,$ $U$ está cubierto por la apertura de los cuñados, que son los espectros de Noetherian los anillos. Por lo $U$ es localmente Noetherian.

La sustitución de $X$ $U,$ $^{(1)}$ estamos reducidos para demostrar que si $X =\rm Spec A$ localmente Noetherian, a continuación, $A$ es Noetherian. Deje $V =\rm Spec B,$ abierto subconjunto de $X$ donde $B$ es un Noetherian anillo. A continuación, hay un elemento $f\in A$ tal que $D(f)\subset V .$ Deje $\bar f$ ser la imagen de $f$ $B.$ $^{(2)}$ $A_f\cong B_{\bar f}$ donde $A_f$ es Noetherian. Así podemos cubrir la $X$ por la apertura de los subconjuntos $D(f)\cong \rm {Spec}$$(A_f).$ Desde $X$ es cuasi-compacto, un número finito va a hacer.

1. No veo por qué no podemos reemplazar a $X$$U$ ? y cómo podemos reducir a demostrar que si $X =\rm Spec A$ localmente Noetherian, a continuación, $A$ es Noetherian.
2. No entiendo lo que significa "imagen de $f$ $B$" y por qué $A_f\cong B_{\bar f}.$

Gracias.

Answer 1

(1) Este tipo de argumento es omnipresente, pero pensando en que de nuevo puedo entender la confusión. No sé que debo hacer mucho más que decir: él tiene que tomar en cualquier afín a abrir $\operatorname{Spec} A \subseteq X$ y muestran que $A$ es Noetherian. Él muestra que un $\operatorname{Spec} A$ es localmente Noetherian -- si puede demostrar que esto implica que $A$ es Noetherian, a continuación, que sin duda hace el trabajo.

Usted puede ver simplemente como un intento de reducir la notación, pero este argumento se ve mucho, y la reducción de la notación generalmente es bueno. También, el hecho de que un abrir subscheme de un local Noetherian esquema localmente Noetherian es una buena.

Vakil del libro no necesita más publicidad, pero creo que la forma en que se codifica este tipo de cosas en la Sección 5.3, es digno de ver.

(2) $V$ es un subconjunto abierto de $X$, por lo que la estructura de la gavilla, debe darle un mapa de restricción \[ A= \mathscr{O}_X(X) \a \mathscr{O}_X(V) = B. \] Ahora un montón de implícito identificaciones entrar y uno tiene que sentirse cómodo con ellos. El punto es que $D(f)$ $D(\bar{f})$ son el mismo conjunto abierto. Recuerde: $D(f)$ es el conjunto de puntos donde $f$ no se desvanecen, y para comprobar esto en un punto determinado no importa si me restringir $f$ a algunos de los vecinos más pequeños primero.

Viendo el conjunto abierto en estas dos maneras diferentes de ver que el abrir subscheme es canónicamente isomorfo a ambos $\operatorname{Spec} A_f$$\operatorname{Spec} B_{\bar{f}}$, por lo que los anillos deben ser isomorfos. También se puede ver esto como un caso especial de que el hecho de que si $\pi\colon \operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec} B$ es una de morfismos que viene a partir de un mapa de los anillos de $\phi\colon A \to B$$\pi^{-1}(D(f)) = D(\phi(f))$$f \in A$.

Valdría la pena escribir esto mientras explícitamente de nomenclatura y uso de la isomorphisms de abrir subschemes con cierta $\operatorname{Spec}$s, pero usted desea conseguir lejos de eso rápidamente.

Answer 2

La declaración que se está demostrando es:

Si $X$ es localmente Noetherian y $U = \mathop{\mathrm{Spec}}A\subseteq X$ es afín, a continuación, $A$ es un Noetherian anillo.

Demuestra las siguientes reclamaciones:

1. Si $X$ es localmente Noetherian y $U = \mathop{\mathrm{Spec}}A\subseteq X$ es afín, a continuación, $U$ es localmente Noetherian.
2. Si $U = \mathop{\mathrm{Spec}}A$ es afín y localmente Noetherian, a continuación, $A$ es un Noetherian anillo.

Estas afirmaciones implican la declaración original. Por "sustitución de $X$$U$", quiere decir que en la reivindicación 2, que él llama el esquema de $X$ en lugar de $U$. Puede ser confuso, porque es $U$ que se va a sustituir por $X$ en la reivindicación 2, pero él está pensando probablemente a lo largo de las líneas de la reducción de la declaración original para el caso de que $X$ es afín (por lo $X$ es reemplazado por $U$, un esquema afín).

Para tu segunda pregunta: como $X = \mathop{\mathrm{Spec}} A$ $V = \mathop{\mathrm{Spec}}B$ son afines, la inclusión $i:V\hookrightarrow X$ induce un mapa de los anillos de $i^\sharp:A\to B$. Definir $\overline{f} = i^\sharp(f)$; esta es la "imagen de$f$$B$".

Set$V_{\overline{f}} = \mathop{\mathrm{Spec}} B_{\overline{f}}$$X_f = \mathop{\mathrm{Spec}} A_f$, que podemos identificar con (principal) abierto pone en $X$. Para mostrar que $A_f\cong B_{\overline{f}}$, es suficiente para mostrar que $V_{\overline{f}} = X_f$. Para $\mathfrak{p}\in V$, $\mathfrak{p}\in X_f$ si y sólo si $f\notin i(\mathfrak{p}) = (i^\sharp)^{-1}(\mathfrak{p})$, lo que sucede si y sólo si $\overline{f} = i^\sharp(f)\notin \mathfrak{p}$, es decir, si y sólo si $\mathfrak{p}\in V_{\overline{f}}$. Esto muestra la supuesta igualdad debido a que $X_f = D(f)\subseteq V$ por $f$.