verificar funciones equicontinuas

Question

Supongamos que $f_n(x)=\sin(nx)$ en $[0.2\pi]$ . Es la secuencia de funciones $\{f_n\}_{n \geq 1}$ equicontinuo en $[0.2\pi]$ ?

Intento calcular la derivada, que es $$f^{\prime}_n(x)=n\cos(nx)$$ que nos da $\sup_{x\in [0,2\pi]}|f^{\prime}_n(x)|=|n \cos(nx)|$ que no tiene límites. Entonces, ¿podemos concluir que la sucesión de funciones no es equicontinua?

Observación: No sé si podemos usar la derivada para demostrar la equicontinuidad de una sucesión de funciones o no. Lo he visto en otro sitio pero no sé por qué funciona y por qué no.

EDIT: ¿Es siempre cierto que $|f_n(x) - f_n(y)| \leq \int_x^y{|f_n^{\prime}(t)|dt}$ ? Entonces si $|f_n^{\prime}(t)|$ está acotada para todo $n$ ¿la sucesión de funciones es equicontinua?

Answer 1

Entonces, ¿podemos concluir que la secuencia de funciones no es equicontinua?

No de la ilimitación de $f_n'$ solo. Si consideramos, por ejemplo, la familia $\{ g_n \}$ donde

$$g_n(x) = \sqrt{x+\frac{1}{n^2}},$$

tenemos $g_n'(0) = \frac{n}{2}$ pero la familia es equicontinua.

No sé si podemos utilizar la derivada para demostrar la equicontinuidad de una sucesión de funciones o no.

Podemos utilizar la derivada para concluir la equicontinuidad uniforme si la familia de derivadas está uniformemente acotada, pero la no acotación de la familia de derivadas no es suficiente para concluir que la familia original no es equicontinua.

Para la familia $f_n(x) = \sin (nx)$ concluimos que la familia no es equicontinua en $0$ por el hecho de que hay puntos arbitrariamente cercanos a $0$ donde algunos $f_n$ alcanza el valor $1$ . Para ver que la familia no es equicnotinua en ningún punto, es necesaria una pequeña modificación del argumento, dada $\varepsilon > 0$ todos $f_n$ para un $n$ alcanzar todos los valores en $[-1,1]$ en cada intervalo de longitud $\varepsilon$ .

Con respecto a su

EDIT: ¿Es siempre cierto que $|f_n(x) - f_n(y)| \leq \int_x^y{|f_n^{\prime}(t)|dt}$ ? Entonces si $|f_n^{\prime}(t)|$ está acotada para todo $n$ ¿la sucesión de funciones es equicontinua?

la estimación es correcta (para $x \leqslant y$ ), y si tenemos un límite uniforme $\lvert f_n'(t)\rvert \leqslant C$ para todos $n$ y $t$ entonces la sucesión no sólo es (uniformemente) equicontinua, sino que incluso es equilipschitz. La estimación produce la equicontinuidad uniforme de la sucesión bajo el supuesto más débil de que la sucesión de derivadas es uniformemente integrable, es decir, para cada $\varepsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que $\int_A \lvert f_n'(t)\rvert\,dt < \varepsilon$ para todos los conjuntos (medibles) $A$ con medida $< \delta$ . Pero como la integrabilidad uniforme de las derivadas no suele ser más fácil de establecer que la equicontinuidad (uniforme) de la familia de funciones, ese criterio tiene poco valor práctico.

Un criterio de equicontinuidad ocasionalmente útil que no utiliza la derivada (que puede no existir) es que una sucesión (localmente) uniformemente convergente de funciones continuas es equicontinua. La sucesión es uniformemente equicontinua si la convergencia es uniforme y la función límite, así como todas las funciones de la sucesión, son uniformemente continuas. Si el dominio es compacto, estas últimas condiciones están implícitas en la convergencia localmente uniforme.