En un Noetherian anillo, el conjunto de asociados primer ideales de un ideal es el conjunto de números primos que puede ser escrito como $(I:z)$.
Soy nuevo en el que se asocia a los números primos, y me preguntaba por qué la Noetherian hipótesis aquí es necesario. En Matsumura, el libro Conmutativa Anillo de la Teoría, los asociados de los números primos de un módulo de $M$ se define como los números primos que se producen como $\operatorname{ann}(m)$ algunos $m\in M$. En esta base, un primer $P$ habría que aniquilar a algún elemento en $A/I$, lo que significa que $P$ es el conjunto de elementos de la $p$ tal que $px\subset I$ algunos $x\in A/I$, que es exactamente la definición de $(I:x)$.
Lo que me estoy perdiendo? ¿Por qué debemos asumir $A$ es Noetherian para que esto se sostenga?
(La cita proviene de @wxu la respuesta a esta pregunta. La pregunta en sí misma tiene un Noetherian hipótesis. Estoy tratando de averiguar por qué es necesario.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Swanson de notas en primaria descomposición da una explicación para esto. En particular, vaya a la Observación de 3.11 en la parte inferior de la página 9.
Para la gente que no desea hacer clic en el enlace, aquí está el quid: por supuesto, usted puede definir los asociados de los números primos, como que sin el Noetherian condición. Pero hay muchas otras definiciones. Sucede que para Noetherian anillos de todas estas definiciones están de acuerdo por lo que es más conveniente asumir que la condición adicional.
