Pregunta sobre el cálculo de una integral complicada

Question

donde $\beta$ es definida de la siguiente forma:

Estoy tratando de demostrar (2.18), pero no sé cómo hacerlo, he calculado la integral pero no encuentro nada

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EDIT1: $\beta(\phi_{\lambda,p,\rho}(y))=\displaystyle\frac{\int_{\mathbb{R}^N} x |\nabla(\phi_{\lambda,p,\rho}(y))(x)|^2 dx}{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla(\phi_{\lambda,p,\rho}(y))(x)|^2 dx}$

Por definición de $\phi_{\lambda,p,\rho}$ obtenemos:

$\beta(\phi_{\lambda,p,\rho}(y))=\displaystyle\frac{\int_{B_{\rho}(y)} x |\nabla u_{\lambda,p,\rho}(|x-y|)|^2 dx}{\int_{B_{\rho}(y)}|\nabla u_{\lambda,p,\rho}(|x-y|)|^2 dx}$

Tenemos que $x\in B_{\rho}(y)$, $u_{\lambda,p,\rho}$ es radial, por lo $u_{\lambda,p,\rho}(|x-y|)=u_{\lambda,p,\rho}(x-y)$

Pero cómo obtener ese $\beta(\phi_{\lambda,p,\rho}(y))=y$ ?

por favor me ayudan

Gracias.

Answer 1

Deje $\psi : \mathbb{R}^N \to [0, \infty)$ ser una función medible que es radialmente simétrica alrededor de algunos $y \in \mathbb{R}^N$$\int_{\mathbb{R}^N} \psi(x) dx = 1$. Entonces $$ \int_{\mathbb{R}^N} x \psi(x) dx = \int_{\mathbb{R}^N} (x - y) \psi(x) dx + y \int_{\mathbb{R}^N} \psi(x) dx = \int_{\mathbb{R}^N} z \psi(z + y) dz + y = y, $$ sustituyendo $z = x - y$, y el uso de la simetría radial de $\psi$.

Ahora aplicar esto a la función de $\psi := \tilde\psi / \int_{\mathbb{R}^N} \tilde\psi$, donde $\tilde\psi := |\nabla [\Phi_{\lambda,p,\rho}(y)](\cdot)|^2$. El denominador es positivo y finito como de largo como $u_{\lambda,p,\rho} \neq const$ cuando es distinto de cero. Y es $\neq const$ porque $\Phi_{\lambda,p,\rho}$ mapas en $H_0^1(\Omega)$.

Espero que tenga sentido.