¿La radiación cambia la entropía?

Question

¿Hay cambios de entropía asociados a la transmisión de energía del sol a la tierra? ¿Difiere la radiación de otros modos de transferencia de calor con respecto a los cambios de entropía?

¿Están la Tierra y el Sol en equilibrio térmico?

Answer 1

La Tierra y el Sol no están en equilibrio térmico, de lo contrario estarían a la misma temperatura. La respuesta rápida es que no hay ningún cambio de entropía asociado a la luz que se propaga libremente por el espacio, pero esto es algo sorprendente. La luz que se propaga libremente sólo transporta calor del emisor al absorbente, y el calor transporta una entropía que es 4/3 de la densidad de energía dividida por la temperatura.

La respuesta a la segunda pregunta es que esto es ligeramente diferente de otros sistemas físicos. Si se deja que una caja de gas se expanda en el espacio vacío, su entropía suele aumentar durante la expansión debido a las colisiones de las partículas. Esto continúa hasta que el gas se diluye lo suficiente como para convertirse en partículas libres, y entonces la entropía es constante (en la definición apropiada). Las partículas libres ya no están en equilibrio térmico, y a medida que el gas se expande lleva una gran cantidad de información sobre cómo empezó: las partículas rápidas corren por delante de las lentas, revelando la distribución de la velocidad.

Expansión del gas

Primero explicaré el análogo clásico: un gas clásico no interactivo que se expande en el vacío. La luz del cuerpo negro es análoga a una caja de gas muy diluido. Imagina unas partículas no interactivas que han alcanzado el equilibrio térmico con las paredes. Las partículas tienen una distribución de Maxwell en las velocidades, y llenan la caja aleatoriamente, de modo que la distribución de probabilidad para la posición y la velocidad de cada partícula es la misma, y viene dada por:

$$\rho(x,v) \propto e^{-v^2\over 2mkT} B(x)$$

Donde B(x) es 1 dentro de la caja y cero fuera de ella. La distribución de probabilidad conjunta para todas las partículas es el producto

$$\rho(x_1, v_1) \rho(x_2,v_2) .... \rho(x_N,v_N)$$

Esta es la distribución de Boltzmann para las partículas del gas, es $e^{-\beta H}$ donde H es la energía de las partículas libres en función del espacio de fase y $\beta={1\over kT}$ es el recíproco de la temperatura medida en unidades de energía.

Ahora las paredes desaparecen. Durante esta expansión sin colisiones, el gas sale completamente del equilibrio térmico. La información total de la distribución de probabilidad se mantiene constante, pero el volumen físico total que ocupan las partículas crece enormemente, de modo que las posiciones y las velocidades se correlacionan muy rápidamente (incluso se puede utilizar este sistema para medir experimentalmente la distribución de Maxwell).

La entropía de una distribución de probabilidad clásica $\rho$ puede definirse como la entropía de Shannon:

$$S = - \int \rho \log\rho$$

Si escribe $\rho$ como la distribución canónica de probabilidad del conjunto $\rho = {1\over Z} e^{-\beta H}$ , esta fórmula reproduce la entropía termodinámica, por lo que es una generalización adecuada. Pero extiende el concepto a cualquier descripción probabilística de cualquier sistema clásico. La entropía de Shannon adquiere un significado gracias al teorema de la codificación sin ruido (véase esto: ¿Cómo se demuestra $S=-\sum p\ln p$ ? ), es el número mínimo de bits por término medio (bits si se toma el logaritmo de base 2, normalmente los físicos toman el logaritmo natural, por lo que es el número de "nats") que se necesita para especificar el estado completo del sistema (la posición y las velocidades de todos los átomos) dada una elección aleatoria de la distribución de probabilidad. Se necesitan infinitos bits para describir un estado clásico con una precisión infinita, y esto se refleja en el hecho de que la entropía sólo se define hasta una constante aditiva clásica (véase la respuesta enlazada).

Cuando las partículas se expanden libremente, esta entropía clásica es constante. La distribución de probabilidad en el tiempo t se convierte en

$$\rho_t(x,v) = \rho_0(x-vt,v) = e^{v^2\over 2mkT} B(x-vt)$$

Como esto es sólo una transformación de cizalla (un desplazamiento de x dependiente de v) de la distribución original, la integral de entropía es constante.

Entropía de la luz solar

Lo mismo ocurre con la luz del sol. La luz, cuando sale de la superficie del sol, está (casi exactamente) en equilibrio térmico, pero se propaga libremente fuera del sol hacia la Tierra, y la parte de la luz que llega a la Tierra no está en equilibrio térmico en absoluto --- viene toda de una dirección, es decir, del sol. La entropía total de toda la luz que recibimos es la misma que tenía esta luz en la superficie del sol. La entropía es ahora la información cuántica, no la clásica:

$$S= - tr(\rho\log\rho)$$

Y se calcula mediante una suma sobre los estados cuánticos discretos, al igual que la entropía clásica se calcula mediante una integral sobre todo el espacio de fases.

La función de partición se puede calcular a partir de la fórmula explícita

$$Z = \prod_k \sum_{n_k} e^{-\beta n_k |k|}$$

Para simplificar las fórmulas, he puesto $\hbar=c=k_B=1$ (se trata de un sistema cuántico térmico relativista), los restableceré al final mediante un análisis dimensional. La densidad de energía libre en d-dimensiones es

$$-\beta F = \log Z = {\sigma\over d} {V\over \beta^d}$$

Y esto determina todo lo demás. La ley de escalamiento se determina por el análisis dimensional--- es reescalando la integral k para hacerla independiente de $\beta$ . La energía libre es negativa (esto significa que la entropía por la temperatura es mayor que la energía). La constante $\sigma$ se define con un factor de $1\over d$ para que la fórmula de la densidad de energía sea agradable:

$${\sigma\over d} ={ N_p S_{d-1} \zeta(d+1) \Gamma(d)\over (2\pi)^d }$$ $$\sigma ={ N_p S_{d-1} \zeta(d+1) \Gamma(d+1)\over (2\pi)^d }$$

Donde $N_p$ es el número de polarizaciones, 2 para los fotones. La densidad de energía es

$$U = d |F| = \sigma T^{d+1} V$$

Esta es la única expresión extensiva dimensionalmente correcta, ya que cuando $\hbar=c=k_B=1$ la temperatura/energía es un tiempo inverso que es una longitud inversa. La entropía es

$$S = (d+1) |F| = {d+1\over d} U$$

Todo esto se deduce de la termodinámica, ya que F es una ley de potencia en la temperatura. En 3d, la entropía de la radiación emitida es ${4\over 3}$ la densidad de energía.

El sol produce luz a la temperatura T llevando entropía por unidad de volumen que es $4 a T^3$ . En una unidad de tiempo $\Delta t$ La presión que un gas de radiación en equilibrio ejercería sobre el sol (considerado como un cuerpo negro) es un tercio de la densidad de energía. Esta presión es el doble de la luz que el sol (considerado como cuerpo negro) absorbería en una unidad de tiempo, por lo que es la cantidad de luz emitida por el sol de cuerpo negro.

La entropía de la luz saliente es 4/3 de la potencia de la luz emitida.

$$\dot{S} = {4\over 3} \sigma T_s^3 (4\pi R_s^2)$$

Esta es la ley de Stephan Boltzmann para la entropía emitida: 4/3 de la potencia emitida. La constante $\sigma$ es la constante de Boltzmann de Stephan.

La fracción de esta entropía que incide en la Tierra viene dada por el ángulo sólido subtendido por la Tierra, por lo que la entropía que incide en la Tierra en el tiempo $\Delta T$ es

$$S_i = {4\over 3} \sigma T_s^3 (4\pi R_s^2 c \Delta t) \pi{R_e \over A}^2$$

Donde $R_e$ es el radio de la Tierra y A es la unidad astronómica. En la misma unidad de tiempo, una cáscara de luz infrarroja térmica sale de la Tierra, llevando entropía

$$S_o = {4\over 3} \sigma T_e^3 (4\pi R_e^2 c \Delta t)$$

Así que la entropía total producida por la Tierra es la diferencia entre $S_o$ y $S_e$ . La relación de los dos es:

$$(\pi {R_s\over A})^2 ({T_s\over T_e})^3$$

El primer factor es el ángulo sólido del radián subtendido por el sol en el cielo, y el segundo factor es la relación de las densidades de entropía de la radiación de equilibrio en la superficie del sol y en la superficie de la Tierra. La relación de temperatura es de 20:1, por lo que el segundo factor es 8000, mientras que el primer factor es el ángulo sólido de un cuarto de grado de círculo, o $\pi({\pi\over 720})^2$ Así que la Tierra vierte al espacio el doble de entropía que recibe del sol.

La entropía total por segundo que volcamos es un límite a la máxima transformación de información que puede hacer la Tierra: el número máximo de bits que puede eliminar por segundo. Esta tasa de bits (restaurando hbars y c's y dejando de lado los factores de orden 1) es

$$I ={ R_e^2 (kT_e)^3 \over c^2\hbar^3 \log(2) }$$

que se trata de $10^{38}$ bits por segundo. Esto me sorprendió, porque no es mucho más grande que la información total de toda la biomasa de la Tierra.

Answer 2

El artículo sobre la entropía en Wikipedia incluye un párrafo sobre la definición de mecánica estadística de la entropía. Es útil para cuestiones como la que planteas.

En concreto, la entropía es una medida logarítmica de la densidad de estados:

$$S = - k_B\sum_i P_i \ln P_i$$

donde $k_B$ es la constante de Boltzmann, igual a 1,38065×10 $^{−23}$ J K $^{−1}$ . La suma es sobre todos los posibles microestados del sistema, y $P_i$ es la probabilidad de que el sistema se encuentre en el i-ésimo microestado. Para la mayoría de los fines prácticos, ésta puede tomarse como la definición fundamental de la entropía, ya que todas las demás fórmulas para S pueden derivarse matemáticamente de ella, pero no a la inversa. (En algunas situaciones raras y recónditas, puede ser necesaria una generalización de esta fórmula para dar cuenta de los efectos de coherencia cuántica, pero en cualquier situación en la que tenga sentido una noción clásica de probabilidad, la ecuación anterior describe con precisión la entropía del sistema).

En lo que se ha llamado el supuesto fundamental de la termodinámica estadística o el postulado fundamental de la mecánica estadística, se supone que la ocupación de cualquier microestado es igualmente probable (es decir $P_i=1/\Omega$ desde $\Omega$ es el número de microestados); esta suposición suele estar justificada para un sistema aislado en equilibrio. Entonces la ecuación anterior se reduce a

$$S = k_B \ln \Omega$$ Esto significa que cualquier cambio en el número de microestados aumenta la entropía. Así lo hace la radiación, cada nuevo fotón que sale del sol aumenta su número de microestados.

Equilibrio térmico significa que la temperatura es la misma en los sistemas en equilibrio térmico y como comentaba @Zephyr arriba la tierra tendría la temperatura del sol, si estuviéramos en equilibrio térmico con el sol.

Answer 3

Ver esto como un comentario ampliado. Espero que la respuesta a las siguientes preguntas haga algo de justicia: ¿Causa la radiación cambios en la entropía? ¿Existe una relación explícita entre la radiación y la entropía?

No hay ningún cambio de entropía asociado a los fotones que se expanden en el vacío (no se pierde información); pero puede cambiar la entropía de su sistema. La entropía transportada por la radiación del cuerpo negro se da como sigue. Fotones en un volumen $V$ a la temperatura $T$ induce una densidad de energía $u=\frac{\sigma}{c} T^4$ y un pequeño cálculo da como resultado $S_\text{rad}=\frac{16\sigma V}{3c}T^3$ . Si ahora se añade un baño de calor con temperatura $T_r$ entonces, suponiendo que la capacidad calorífica del material de la cavidad es despreciable, el cambio global de entropía del universo (después de que el sistema y el baño de calor alcancen el equilibrio térmico) es $\triangle S=\frac{4\sigma V}{3c}T_r^3[1-4(\frac{T}{T_r})^3-3(\frac{T}{T_r})^4]$ .