Diagrama de cuerpo libre del bloque sobre la cuña de aceleración

Question

Considere el siguiente sistema:

Estoy muy confundido sobre ciertos aspectos de la situación descrita en este diagrama en el que un bloque se coloca en una cuña inclinada en un ángulo . (Supongamos no hay fricción en todas partes )

Consideremos algunos casos diferentes:

En primer lugar, cuando la cuña se acelera hacia la izquierda, si observara el sistema desde el suelo (asumiendo que es un marco de referencia inercial), ¿qué vería? ¿Veré que el bloque se queda en la cuña y se acelera con ella hacia la izquierda o lo veré moverse por el plano inclinado, que a su vez se mueve hacia la izquierda?

En segundo lugar, en algunos problemas, tienen mencionado que el bloque se acelera "por el plano inclinado con aceleración $a$ en relación con la cuña". En estos problemas, elijo la cuña como marco de referencia, introduzco una pseudofuerza y resuelvo la situación. Sin embargo, si observara el bloque desde el suelo, ¿qué aspecto tendría su movimiento?

En tercer lugar, al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un bloque que se da como "bajando por un plano inclinado", ¿en qué dirección debo suponer su aceleración? ¿Directamente hacia abajo o a lo largo del plano?

En cuarto lugar, si se da el caso de que el bloque no "resbale sobre la cuña", ¿cuál es la condición que se debe utilizar?

Como puedes ver en todo esto, estoy espectacularmente confundido con todo este cambio de marcos de referencia y aceleraciones. Si alguien pudiera resumirlo de forma concisa, me sería de gran ayuda. Espero haber transmitido mis dudas con claridad. Si hace falta más claridad, por favor, hacédmelo saber y editaré mi pregunta en consecuencia. Muchas gracias de antemano :) Saludos.

Answer 1

En lugar de responder a sus preguntas individuales, le daré una visión general y luego discutiré algunos de los puntos que ha planteado.
Hay muchas formas de abordar este tipo de problemas, pero dibujar unos cuantos FBD junto con algunos ejes de coordenadas es siempre un buen comienzo.

Utilizaré el marco de referencia del laboratorio, ya que quizás sea más fácil describir lo que se ve desde ese marco de referencia, y además supondré que no hay fricción y que todo parte del reposo.
El otro supuesto importante para la primera parte del análisis es que el bloque y la cuña permanecen en contacto entre sí. Entonces se puede aplicar la segunda ley de Newton, que dará lugar a ecuaciones con las aceleraciones vertical y horizontal del bloque, $z$ y $x$ la aceleración horizontal de la cuña $X$ y la reacción normal entre el bloque y la cuña $N$ como las cuatro incógnitas.
El problema es que la aplicación de la segunda ley de Newton sólo da lugar a tres ecuaciones.

Como en muchos problemas de mecánica, la cuarta ecuación proviene de la geometría del sistema.
El bloque se mantiene en contacto con la cuña y con respecto a ella se desliza hacia abajo en un ángulo $\theta$ .
Es decir, si te sientas en la cuña verás que el bloque se acelera hacia abajo de la cuña pero se mantiene en contacto. La aceleración hacia abajo de la cuña con respecto al bloque es $z$ (la cuña no tiene movimiento hacia abajo ya que se supone que la mesa es inamovible) y la aceleración horizontal del bloque respecto a la cuña es $x-X$ .

Los diagramas de vectores de aceleración tienen este aspecto:

Se obtiene la cuarta ecuación $\tan \theta = \dfrac{z}{x-X}$

Espero que esto sea suficiente para responder a todas sus preguntas.

La cuña tiene que ir hacia la izquierda y el bloque hacia la derecha. Esto debe ser así para que la fuerza horizontal neta sobre el sistema bloque-cuña sea nula y así el centro de masa del sistema no se mueva.
Utilizando esta idea se puede obtener una ecuación que relaciona la aceleración horizontal del bloque $x$ y la de la cuña $X$ directamente; $(m_1\;x + m_2 \; X = 0 +0 \Rightarrow X = - \dfrac {m_1\; x}{m_2}$ .

Si por alguna razón la aceleración de la cuña hacia la izquierda es mayor que $X$ en el ejemplo anterior, por ejemplo, debido a una fuerza horizontal externa sobre la cuña que actúa hacia la izquierda, entonces la situación se complica.
Supongamos que la fuerza es tal que la aceleración horizontal de la cuña hacia la izquierda se mantiene constante con una magnitud $Y$ .

La fuerza normal entre la cuña y el bloque disminuirá por lo que la aceleración hacia abajo del bloque $z$ aumentará mientras que su aceleración horizontal del bloque4 $x$ disminuirá pero seguirá en contacto con la cuña.
En el diagrama de aceleración recordando que como la aceleración de la cuña es hacia la izquierda la magnitud de $x-Y$ aumentará al igual que la magnitud de $z$ para asegurar que el bloque permanece en contacto con la cuña.
Por lo tanto, si te sientas en la cuña, verás que el bloque sigue en contacto con la cuña pero con una mayor aceleración hacia abajo que antes.
Sentado en el marco del laboratorio, verá de nuevo que la cuña se acelera más rápidamente hacia abajo, pero con una trayectoria cuyo ángulo con la horizontal es mayor que el ángulo de la cuña $\theta$ .

El caso límite se alcanza cuando la aceleración hacia abajo del bloque es $g (= z)$ y su aceleración horizontal $x$ es cero.

Así que en este caso límite $\tan \theta = \dfrac{g}{(-)Y}$

Cualquier aumento de la aceleración horizontal de la cuña hacia la izquierda hará que el bloque pierda el contacto con la cuña y sufra una caída libre.

No estoy del todo seguro de la última parte del análisis, pero la aceleración límite $Y$ parece predecir lo que cabría esperar.
Como el ángulo $\theta$ se hace cada vez más pequeño para mantener justo en contacto con el bloque la aceleración horizontal de la cuña $Y$ tiene que ser cada vez más grande mientras que a medida que el ángulo $\theta$ tiende a $90 ^\circ$ la aceleración de la cuña $Y$ tiene que ser cada vez más pequeño.

Answer 2

Me he dado cuenta de que está preguntando por Un bloque en una cuña . Este problema es más difícil de lo que parece, incluso sin fricción.

El movimiento es fácil de predecir. La cuña se mueve hacia la izquierda, el bloque se mueve hacia abajo y hacia la derecha. Horizontalmente hay conservación del momento, por lo que la posición horizontal del centro de masa no se mueve. Si quieres resolver este problema, probablemente sea más fácil utilizar la conservación de la energía y el momento, en lugar de la fuerza y la aceleración. Ver El bloque se desliza sobre una cuña triangular lisa mantenida sobre un suelo liso. Encuentra la velocidad de la cuña cuando el bloque llega al fondo .

Desde el marco de referencia del suelo, la trayectoria del bloque es una pendiente con un ángulo $\theta' > \theta$ que depende de la relación de $m_2/m_1$ . Por ejemplo, si $m_1>>m_2$ entonces la cuña acelera muy rápido hacia la izquierda y el bloque $m_1$ cae verticalmente en $\theta' \approx 90^{\circ}$ ; si $m_1<<m_2$ entonces la cuña no se mueve y el bloque se desliza por la pendiente a $\theta' \approx \theta$ .

Puede ayudar a resolver la aceleración del bloque en componentes x e y. A continuación, $m_2a_2=m_1a_x$ . Tenga en cuenta que las ecuaciones establecidas por xylong97 son incorrectas.

El problema se aborda en muchas páginas web y en algunos vídeos. Por ejemplo: Un problema de movimiento relativo y restringido .

Answer 3

Veré que el bloque se mantiene en la cuña y acelera junto con ella [...]

No, en absoluto. El bloque no se mueve, ya que no hay nada (ninguna fuerza) que lo arrastre con la inclinación.

Dibuja el diagrama de cuerpo libre del bloque, y sólo verás fuerza normal $\vec n$ y peso $\vec w$ . Su suma puede nunca punto a la izquierda.

[...] ¿o veré que se mueve por el plano inclinado, que a su vez se mueve hacia la izquierda?

Sí . A menos que la inclinación se aleje más rápido que el bloque puede caer (en cuyo caso naturalmente no sigue la superficie de la pendiente).

[...] la cuña se acelera "por el plano inclinado con aceleración $a$ con respecto a la cuña". [...] si observara el bloque desde el suelo, ¿qué aspecto tendría su movimiento?

• El caso extremo : Si la inclinación se mantiene, el bloque sentirá la máxima fuerza normal $\vec n$ . Se desliza hacia abajo en ángulo $\theta$ .
• El otro caso extremo : Si la pendiente se mueve hacia la izquierda extremadamente rápido - más rápido de lo que el bloque puede caer - entonces $\vec n$ se convierte en cero. El bloque cae en línea recta a $90^\circ$ como si la pendiente no existiera.
• El caso intermedio : Si la inclinación se mueve hacia la izquierda no demasiado rápido, $\vec n$ es menor (pero no cero). El bloque se desliza por la pendiente pero con un ángulo más estrecho (mayor) que $\theta$ (pero no verticalmente en $90^\circ$ ), ya que la inclinación se aleja bajo ella simultáneamente.

[...] al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un bloque que se da como "bajando por un plano inclinado", ¿en qué dirección debo suponer su aceleración? ¿Directamente hacia abajo o a lo largo del plano?

Según la 2ª ley de Newton $\sum \vec F=m\vec a$ la aceleración $\vec a$ está en la misma dirección que la fuerza resultante $\sum \vec F$ . Así, al dibujar el diagrama de cuerpo libre (que sigue conteniendo sólo $\vec w$ y $\vec n$ ), su suma apuntará a lo largo de la aceleración.

En los tres casos mencionados, esta fuerza resultante cambiará de dirección, según la rapidez con la que la pendiente se desplace hacia la izquierda, porque $\vec n$ se ve afectado. Así que la fuerza resultante y la aceleración apuntará más y más verticalmente hacia abajo, cuanto más rápido se mueva la pendiente.

En cuarto lugar, si se da el caso de que el bloque no "resbale sobre la cuña", ¿cuál es la condición que se debe utilizar?

Para evitar que la caja se deslice sobre la cuña, debemos evitar que se deslice sobre la parte superior, lo que significa que debemos evitar que empiece a deslizarse en primer lugar. Por lo tanto, la condición sería que los dos objetos se muevan por igual. Es decir, que tengan la misma aceleración para que ninguno se "deje caer" por detrás.