Lipschitz y singularidad de un IVP

Question

Considere que el IVP$$\frac{dx}{dt}=1+x^2, \ \ \ x(0)=1.$$ I am trying to show that $ f (x) = 1 + x ^ 2 $ es Lipschitz y, por lo tanto, el IVP anterior tiene una solución única.

Mi intento:

Yo considere $f(x)=1+x^2$. Ahora, si$f$ es Lipschitz, entonces$\exists L\in\mathbb{R}, \ \text{such that} \ \forall x,y\in\mathbb{R}$,$$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|.$ $ ahora, \begin{align} L&\geq \frac{|1+x^2-1-y^2|}{|x-y|} \\ &=\frac{|(x-y)(x+y)|}{|x-y|} \\ &=|x+y| \end {align}

Estoy un poco inseguro de cómo proceder. ¿Cómo puedo usar las condiciones de valor iniciales para promover mi respuesta?

Answer 1

Todo lo que necesita para la singularidad es la propiedad local de Lipschitz de$f(x)=1+x^2$: para cualquier$x,y \in [a,b]$, según el Teorema de Lagrange,$$|f(x)-f(y)|=|f'(t)||x-y|\leq L|x-y|$ $ donde$L=\max\{2t : t\in [a,b]\}=2\max(|a|,|b|)$ (o, según su enfoque, También puede tomar$L=2\max(|a|,|b|)\geq |x|+ |y|\geq |x+y|$).

Por cierto, en este caso, la singularidad sigue al resolver la EDO después de separar las variables:$$\int_1^{x(t)}\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{t}dt\implies \arctan(x(t))-\frac{\pi}{4}=t\implies x(t)=\tan\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$ $