$f$ es un mapa lineal de$M_n(\mathbb{C})$ a$M_k(\mathbb{C})$

Question

Definir $M_n(C)$ como el espacio lineal sobre el campo $\mathbb{C}$ formado de todas las matrices de $n\times n$ $\mathbb{C}$.

Sea $f$ un mapa linear de $M_n(\mathbb{C})$ $M_k(\mathbb{C})$ satisfacer la siguiente condición:

Si es de $A$ $n\times n$ matriz hermítica, que por definición es una matriz compleja satisfacción $A=A^*$, $f(A)$ es una matriz hermítica en $M_k(\mathbb{C})$.

Demostrar que $\forall A$ $M_n(\mathbb{C})$ tenemos $f(A^)=f(A)^$.

Answer 1

El primer paso consiste en mostrar que el resultado es cierto para los anti-hermitian matrices, es decir, matrices tales que el $M=-M^*$. Para ver esta nota que $iM$ es hermitian. A continuación, $$ f((iA)^*)=-si (^*)=f(iA)^*=-si(a)^*. $$ Una vez que esto ha sido demostrado, tenga en cuenta que cualquier matriz $A$ puede ser escrito como la suma de un hermitian y un anti-hermitian de la matriz: $$ A=\frac{a+a^*}{2}+\frac{a-a^*}{2}. $$ El resultado se sigue inmediatamente por el trabajo a través de la ecuación $$ f(A)^*=f\left(\frac{a+a^*}{2}+\frac{a-a^*}{2}\right)^*. $$ Si usted necesita más detalles, hágamelo saber y voy a añadir.