Me encontré con la siguiente pregunta en algunos problemas de ejemplo para mi de posgrado de la mecánica estadística curso examen final:
Considere un gas ideal de fermiones de la densidad de $n$ en tres dimensiones con la sola partícula eigenstate energías dadas por $\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$. Suponga que el potencial químico $\mu = 0$$T=0$. Demostrar que si el fermión de la densidad es constante, $\mu(T)=0$ todos los $T$.
Mi primer acercamiento fue el uso de la de Fermi-Dirac distribución (el uso de unidades de energía para la temperatura):
$$N=\sum_k\langle n_k\rangle = \sum_k \frac{1}{e^{\frac {\epsilon_k-\mu}T}+1}=\sum_k \frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}$$
La conversión de este en un integrante en el impulso de espacio:
$$N=V\int_{\Bbb R^3}\frac {d^3k}{(2 \pi)^3}\frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}=\frac {V}{2 \pi^2}\int_0^\infty dk \ \frac{k^2}{z^{-1}e^{\frac {\hbar c k}T}+1}$$
Donde $z=e^{\frac {\mu}{T}}$ es la fugacidad. Mediante el cambio de variables, obtenemos:
$$N=\frac {V}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{x}+1}$$
Que en términos de la de Fermi-Dirac funciones, es :
$$n=\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3f_3(z)$$
Donde $n$ es la densidad. A bajas temperaturas, el uso de la Sommerfeld expansión $f_3\left(e^{\frac{\mu}{T}}\right) \simeq \frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)$, obtenemos:
$$n\simeq\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)\simeq \frac {V}{ 6\pi^2} \left(\frac{\mu}{\hbar c}\right)^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+ $$
Lo que da :
$$\mu \simeq \hbar c\left(6 \pi^2 n\right)^{\frac{1}{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+ $$
Yo no puedo ver cómo podemos asumir que el potencial químico a ser cero en el cero de temperatura. Claramente, la solución anterior muestra que eso es imposible. ¿Cómo podría el gas cero de la energía de fermi? Puedo obtener el mismo resultado a la hora de calcular el grand canónica de la función de partición desde cero y utilizando el gran potencial. Un cero de potencial químico no hace sentido intuitivo, porque implica que la adición o sustracción de las partículas del gas no tendría coste de energía de cualquier tipo; que no puede ser verdad, porque cuando se añade un fermión no puede compartir un nivel de energía con otra partícula (principio de Pauli), y por lo tanto tiene que ir a un nivel de energía más alto, lo que significa que hay un valor distinto de cero el costo de la energía.
Otro problema es que yo no puede entender lo que la pregunta se entiende por la $\pm$ $\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$ relación. Qué significa que cada eigenstate de impulso corresponde a dos autoestados de energía, uno negativo y uno positivo? Por ejemplo, considere el caso de $\epsilon_k=- \hbar c |\mathbf k|$. El mismo razonamiento anterior nos da:
$$n=\frac {1}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{-x}+1} \ \rightarrow +\infty$$
Y esta integral diverge claramente para todos los valores de $z$.
Me siento como que estoy interpretando mal la pregunta. Cualquier ayuda se agradece.
