Ayuda con $\int\frac{1}{1+x^8}dx$

Question

No estoy seguro de cómo proceder. Traté de factoring como haces para evaluar $\int\frac{1}{1+x^4}dx$, y desde que salió desagradable comprobé WolframAlpha para ver si yo estaba en el camino correcto. De hecho, Wolfram no tiene un paso a paso de la solución de la integral en cuestión, pero el primitivo está lleno de expresiones trigonométricas como $\csc\frac{\pi}{8}$ y no estoy seguro de donde estos provienen.

Answer 1

Usted tiene un vil profesor. Tenía que encontrar a $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^4}dx$ cuando tomé mi análisis II curso y de verdad, escribí en mis notas: simplemente no quieren que esto antiderivada en nadie. Me tomó de una página y media (A4) para encontrar este antiderivada y no pude probar todos los detalles. El tuyo es mucho más problemático.

Sugerencia: Para todos los $x\in \Bbb R$, la siguiente igualdad se tiene:$$1+x^8=\left(x^2+\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)x+1\right)\left(x^2-\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)x+1\right)\\\left(x^2+\left(\sqrt{2+\sqrt 2}\right)x+1\right)\left(x^2-\left(\sqrt{2+\sqrt 2}\right)x+1\right).$$

Usted puede utilizar fracciones parciales y encontrar el antiderivatives.

Aquí's el Wolfram Alpha confirmación de la igualdad.

Answer 2

Si escribimos $$ \begin{eqnarray*} x^{8}+1 &=&(x^{4}+px^{2}+1)(x^{4}-px^{2}+1)=x^{8}+\left( 2-p^{2}\right) x^{4}+1 \\ &\Rightarrow &2-p^{2}=0\Leftrightarrow p=\pm \sqrt{2}, \end{eqnarray*} $$ tenemos $$ \begin{equation*} x^{8}+1=\left( x^{4}+\sqrt{2}x^{2}+1\right) \left( x^{4}-\sqrt{2} x^{2}+1\right) . \end{ecuación*} $$ Del mismo modo, $$ \begin{eqnarray*} x^{4}+\sqrt{2}x^{2}+1 &=&(x^{2}+qx+1)(x^{2}-qx+1)=x^{4}+\left( 2-q^{2}\right) x^{2}+1 \\ &\Rightarrow &2-q^{2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow q=\pm \sqrt{2-\sqrt{2}}, \\ x^{4}+\sqrt{2}x^{2}+1 &=&(x^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1)(x^{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}} x+1), \end{eqnarray*} $$ y $$ \begin{eqnarray*} x^{4}-\sqrt{2}x^{2}+1 &=&(x^{2}+rx+1)(x^{2}-rx+1)=x^{4}+\left( 2-r^{2}\right) x^{2}+1 \\ &\Rightarrow &2-r^{2}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow r=\pm \sqrt{2+\sqrt{2}}, \\ x^{4}-\sqrt{2}x^{2}+1 &=&(x^{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1)(x^{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}} x+1). \end{eqnarray*} $$ En consecuencia, $$ \begin{eqnarray*} x^{8}+1 &=&(x^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1)(x^{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1) \\ &&\times (x^{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1)(x^{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1). \end{eqnarray*} $$ Desde la expansión de el integrando en fracciones parciales de los rendimientos $$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{8}+1} &=&\frac{1}{8}\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}x+2}{x^{2}+\sqrt{2- \sqrt{2}}x+1}+\frac{1}{8}\frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+2}{x^{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}} x+1} \\ && \\ &&+\frac{1}{8}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}x+2}{x^{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1}+\frac{1 }{8}\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+2}{x^{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1}, \end{eqnarray*} $$ tenemos $$ \begin{eqnarray*} I &=&\int \frac{dx}{x^{8}+1}=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4} \\ && \\ &=&\frac{1}{8}\int \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}x+2}{x^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1}dx+ \frac{1}{8}\int \frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+2}{x^{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}x+1}dx \\ && \\ &&+\frac{1}{8}\int \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}x+2}{x^{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1}dx+ \frac{1}{8}\int \frac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+2}{x^{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}}x+1}dx. \end{eqnarray*} $$ Estos cuatro integrales son todos de la forma $\int \frac{Ax+B}{x^{2}+bx+1}dx$. Así que necesitamos a evaluar $\int \frac{1}{x^{2}+bx+1}dx$$\int \frac{x\,dx}{ax^{2}+bx+c}$. La primera integral es computable por completar el cuadrado en el denominador y hacer un cambio lineal de variables:

$$ \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c} &=&\frac{1}{a}\int \frac{dx}{x^{2}+\frac{b}{a}x+ \frac{c}{a}},\qquad\qquad 4ac-b^{2}>0 \\ &=&\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\left( x-\frac{-b}{2a}\right) ^{2}+\left( \frac{ \sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}\right) ^{2}}, \\ &=&\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\left( x-p\right) ^{2}+q^{2}},\quad p=\frac{-b}{ 2a},q=\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a},\quad x=p+qt \\ &=&\frac{1}{aq}\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt \\ &=&\frac{2}{\sqrt{4ac-b^{2}}}\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt \\ &=&\frac{2}{\sqrt{4ac-b^{2}}}\arctan t,\qquad t=\frac{x-p}{q}=\frac{2ax+b}{ \sqrt{4ac-b^{2}}} \\ &=&\frac{2}{\sqrt{4ac-b^{2}}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}+C.\tag{1} \end{eqnarray*} $$

El segundo es más sencillo $$ \begin{eqnarray*} \int \frac{x\,dx}{ax^{2}+bx+c} &=&\frac{1}{2a}\int \frac{2ax+b-b\,}{ax^{2}+bx+c}dx \\ &=&\frac{1}{2a}\int \frac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}dx-\frac{b}{2a}\int \frac{1}{ax^{2}+bx+c}dx \\ &=&\frac{1}{2a}\log \left(\left\vert ax^{2}+bx+c\right\vert\right) -\frac{b}{2a}\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}.\tag{2} \end{eqnarray*} $$ Para $a=c=1$ $4-b^{2}>0$ obtenemos de $(1)$ $(2)$

\begin{eqnarray*} \int \frac{Ax+B}{x^{2}+bx+1}dx &=&A\int \frac{x\,dx}{x^{2}+bx+1}+B\int \frac{ dx}{x^{2}+bx+1} \\ &=&\frac{2B-Ab}{\sqrt{4-b^{2}}}\arctan \frac{2x+b}{\sqrt{4-b^{2}}}+\frac{A}{2 }\log \left( \left\vert x^{2}+bx+1\right\vert \right) +C.\tag{3} \end{eqnarray*}

E. g. la primera integral se evalúa como \begin{eqnarray*} I_{1} &=&\frac{1}{8}\int \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}x+2}{x^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}} x+1}dx \\ &=&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{8}\arctan \frac{2x+\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+ \sqrt{2}}}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{16}\log \left( x^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}} x+1\right) +C. \end{eqnarray*}

AÑADIDO. La entrada 2.142 de la Tabla de Integrales de la Serie y de los Productos por Gradshteyn y Ryzhik le da a la familia de las integrales de $\int \frac{dx}{1+x^{n}}$ $n\in \mathbb{N}$. From the given formula the particular case for $n=2p=8$ rendimientos

\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+x^{8}} &=&-\frac{1}{8}\sum_{k=0}^{3}\left( \log \left( x^{2}-2x\cos \left( \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}\right) +1\right) \right) \times \cos \left( \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}\right) \\ &&+\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\left( \arctan \left( \frac{x\sin \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}}{1-x\cos \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}}\right) \right) \times \sin \left( \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}\right) +C. \end{eqnarray*}

AGREGÓ 2. Los valores de $\sin \left( \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}\right) $ $\cos \left( \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{8}\right) $ son cuadrática irrationals: $$ \begin{eqnarray*} \sin \frac{\pi }{8} &=&\sin \frac{7\pi }{8}=\cos \frac{3\pi }{8}=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}, \\ && \\ \sin \frac{3\pi }{8} &=&\sin \frac{5\pi }{8}=\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}, \\ && \\ \cos \frac{5\pi }{8} &=&\cos \frac{7\pi }{8}=-\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}. \end{eqnarray*} $$

Answer 3

Las raíces de $1+x^8$ 16-th raíces de la unidad; son $\zeta^{1+2k}$ donde $\zeta$ es una primitiva 16-ésima raíz de la unidad, y $k$$0$$7$.

Todos ellos son distintos, por lo que podemos utilizar la fórmula simple para el parcial fracciones de la descomposición de $f(x)/g(x)$ que dice que el coeficiente de la $1/(x-a)$ plazo es $f(a)/g'(a)$. Por lo tanto,

$$ \frac{1}{1+x^8} = \sum_{k=0}^7 \frac{1}{8 (\zeta^{1+2k})^7} \cdot \frac{1}{x-\zeta^{1+2k}} = \sum_{k=0}^7 \frac{1}{8 \zeta^{7-2k}} \cdot \frac{1}{x-\zeta^{1+2k}} $$

Puede ser de uso que los sumandos $k$ $7-k$ son complejas conjugadas. Si uno está tan inclinado, uno podría agregar esos términos juntos; el resultado debe ser puramente real de la función lineal numerador y cuadrática denominador, dándole la puramente real parcial fracción de descomposición.

Answer 4

Tal vez la mejor manera de conseguir alrededor de este tipo de integrales es el factor en el denominador de la siguiente $$x^{n}+1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-\alpha^{2k+1}\right)$$ where $$\alpha=e^{i\frac{\pi}{n}}$$ is the primitive $n$ root of $-1$. Then we can find the partial fraction expansion of the integrand as $$\frac{1}{x^n+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{A_k}{x-\alpha^{2k+1}}$$ where $$A_k=\lim_{x\rightarrow \alpha^{2k+1}}\frac{x-\alpha^{2k+1}}{x^n+1}$$ Then the integral becomes $$\sum_{k=0}^{n-1}\int \frac{A_k}{x-\alpha^{2k+1}}dx$$ But now, there are many complex terms involved, we need to collect terms together to simplify them to real rational functions. This is not easy for any arbitrary $n$, but is plausible particularly if $n$ is of the form $2^k$ for some $k\in \mathbb{Z}^+$, ver aquí.

Para el problema actual, afortunadamente $n=8=2^3$, por lo que este método funciona aquí.